Corrigé (EDHEC 2002) par Pierre Veuillez

  1. Y n est le nombre de n chaine de pile

    Il y en a au plus 1 qui n'est réalisée que si tous les lancers ont donné pile. Donc Y ( Ω ) = { 0 , 1 }

    ( Y n = 1 ) = P 1 \dots P n et comme les lancers sont indépendants :

    p ( Y n = 1 ) = p ( P 1 ) \dots p ( P n ) = p n donc p ( Y = 0 ) = 1 p n et E ( Y n ) = p n

  2. Pour avoir Y n 1 = 1 il faut avoir une n 1 chaine de pile. Il ne reste donc qu'un seul lancer non pile qui ne peutêtre qu'au début ou à la fin :

    ( Y n 1 = 1 ) = [ P 1 \dots P n 1 F n ] [ F 1 P 2 \dots P n ] les deux sont incompatibles donc

    p ( Y n 1 = 1 ) = p [ P 1 \dots P n 1 F n ] + p [ F 1 P 2 \dots P n ] les lancers sont indépendants donc

    p ( Y n 1 = 1 ) = p n 1 q + q p n 1 = 2 q p n 1

    Comme les seules valeurs possibles de Y n 1 sont là ensore 0 et 1 on a :

    E ( Y n 1 ) = 0 p ( Y n 1 = 0 ) + 1 p ( Y n 1 = 1 ) = 2 q p n 1

  3. Dans cette question, k désigne un entier de [ [ 1 , n 2 ] ]

    Pour tout i de [ [ 1 , n ] ] on note X i , k la variable aléatoire qui vaut 1 si une k -chaîne de `` pile '' commence au i e m e lancer et qui vaut 0 sinon.

    1. Avoir ( X 1 , k = 1 ) signifie qu'une k chaine de ''pile'' commence au premier lancer (et se finit donc au k + 1 e ` m e < n )

      ( X 1 , k = 1 ) = P 1 \dots P k F k + 1 lancers indépendants p ( X 1 , k = 1 ) = p ( P 1 ) \dots p ( P k ) p ( F k + 1 ) et P ( X 1 , k = 1 ) = p k q

    2. Avoir ( X i , k = 1 ) signifie qu'une telle chaine

      • commence au i e ` m e > 1 lancer et donc qu'elle était précédée d'un ''face'';

      • qu'elle se finit au k + i 1 e ` m e < n (de i à i + k 1 il y a ( i + k 1 ) ( i ) + 1 = k lancers)

      • et est donc suivie d'un ''face'' ( i n k donc k + i 1 n 1 < n )

      Donc ( X 1 , k = 1 ) = F i 1 P i \dots P k + i 1 F k + i et comme les lancers sont indépendants pour tout i [ [ 2 , n k ] ] on a bien p ( X i , k = 1 ) = q 2 p k .

    3. Enfin pour X n k + 1 , k = 1 , on a k ''pile'' à partir du n k + 1 e ` m e lancer donc jusqu'au n i e ` m e .

      Donc ( X n k + 1 , k = 1 ) = F n k P n k + 1 \dots P n donc P ( X n k + 1 , k = 1 ) = q p k .

    4. Le nombre total de k listes de pile est la somme de celles qui commencent à 1, à 2 ... à n k + 1

      Donc Y k = i = 1 n k + 1 X i , k et E ( Y k ) = i = 1 n k + 1 E ( X i , k )

      Comme E ( X i , k ) = 0 p ( X i , k = 0 ) + 1 p ( X i , k = 1 ) = q p k

      Et E ( Y k ) = i = 1 n k + 1 q p k = q p k i = 1 n k + 1 1 = ( n k + 1 ) q p k

(EDHEC 2002)