(EDHEC 2002)

On désigne par n un entier naturel non nul.
On lance n fois une pièce de monnaie donnant `` pile '' avec la probabilité p (avec 0 < p < 1 ) et `` face '' avec la probabilité q = 1 p . On appelle k -chaîne de `` pile '' une suite de k lancers consécutifs ayant tous donnés `` pile '', cette suite devant être suivie d'un `` face '' ou être la dernière suite du tirage.
Pour tout k de [ [ 1 , n ] ] on note Y k la variable aléatoire égale au nombre total de k -chaînes de `` pile '' obtenues au cours des n lancers.
Pour tout k de [ [ 1 , n ] ] , on pourra noter P k l'événement `` on obtient `` pile '' au k e m e lancer ''.
Par exemple, avec n = 11 , si l'on a obtenu les résultats P 1 P 2 F 3 F 4 P 5 P 6 P 7 F 8 P 9 F 1 0 P 1 1 alors Y 1 = 2 , Y 2 = 1 et Y 3 = 1 .
Le but de cet exercice est de déterminer, pour tout k de [ [ 1 , n , ] ] l'espérance de Y k , notée E ( Y k ).

  1. Déterminer la loi de Y n et donner E ( Y n ).

  2. Montrer que P ( Y n 1 = 1 ) = 2 q p n 1 . et donner E ( Y n 1 ) .

  3. Dans cette question, k désigne un entier de [ [ 1 , n 2 ] ]

    Pour tout i de [ [ 1 , n ] ] on note X i , k la variable aléatoire qui vaut 1 si une k -chaîne de `` pile '' commence au i e m e lancer et qui vaut 0 sinon.

    1. Calculer P ( X 1 , k = 1 ) .

    2. Soit i [ [ 2 , n k ] ] . Montrer que P ( X i , k = 1 ) = q 2 p k .

    3. Montrer que P ( X n k + 1 , k = 1 ) = q p k .

    4. Exprimer Y k en fonction des variables X i , k , puis déterminer E ( Y k ) .

(EDHEC 2002)