Corrigé CCIP 2000 maths II par Pierre Veuillez
Dans tout le problème,
désigne un entier naturel non nul.
On considère une urne
contenant
boules numérotées de
à
. On tire une boule au hasard dans
. On note
le
numéro de cette boule. Si
est égal à
, on arrête les
tirages. Si
est supérieur ou égal à
, on enlève de
l'urne
les boules numérotées de
à
(il reste donc
les boules numérotées de
à
), et on effectue à
nouveau un tirage dans l'urne. On répète ces tirages jusqu'à
l'obtention de la boule numéro
. On note
la variable
aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour
l'obtention de la boule numéro
. On note
la variable
aléatoire égale à la somme des numéros des boules
tirées. On note
et
(respectivement
et
) l'espérance et la variance de
(respectivement
.
Partie 1.
On pose :
On peut utiliser l'inégalité des accroissements finis :
et pour
on a
donc comme
on a
ou de façon plus élémentaire prouver séparément les deux
inégalités en étudiant les variations de la différence.
On a donc en sommant les inégalité :
somme qui se simplifie en cascade :
et en réindexant
d'où finalement :
On réutilise
pour tout
en substituant
à
On a donc pour tout
que l'on ne peut
utiliser que pour
D'où le résultat recherché :
En factorisant par le prépondérant on trouve :
et en divisant par
donc par encadrement
et
quand
tend vers l'infini.
On pose :
Pour tout
on calcule la différence que l'on factorise :
donc
On somme les inégalités pour
(la somme se simplifie en cascade comme précédemment, on a
détaillé le calcul une fois, il est inutilse de le refaire chaque
fois)
Donc
En factorisant par le prépondérant,
on trouve
Et comme
on a alors
et par encadrement
donc la
parenthèse tende vers 1 et
quand
tend vers l'infini.
Partie 2 : Etude de la variable aléatoire X
On note
la variable aléatoire égale au numéro
de la première boule tirée dans l'urne
.
est le numéro de la première boule tirée. Comme
elles sont toutes équiprobables,
suit une loi uniforme sur
Pour tout
Quand
on obtient la boule 1 au premier tirage, donc
; et la loi conditionnelle de
est :
Quand
on obtient
au premier tirage et on retire
toutes les boules de numéros supérieur à
On continue donc à partir du
tirage avec
boules.
Pour obtenir
au
tirage, il reste donc
tirages
à affectuer (à partir du
) vec
boules.
Donc
Pour la loi de
on n'a qu'une seule boule : la numéro
Donc on l'obtient dès le premier tirage, et la loi de
est :
et
Pour
on dispose au départ des boules
et
est l'événement "obtenir
au premier tirage".
Donc
et
Si on n'a pas
au premier tirage, on aura 2 et il ne restera que la
dans l'urne. On obtiendra alors 1 au second tirage.
Donc
et finalement :
d'où
Quand
on a la boule
dès le premier tirage et donc
. Donc
Quand
on a la boule
au premier tirage, donc pour le second il
ne reste dans l'urne que la boule 1; on est donc sûr de l'obtenir au
second. Donc
Quand
il reste les boules 1 et 2 dans l'urne pour le second
tirage. La probabilité d'obtenir
au second tirage est donc
et
On utilise alors la formule des probabilités totales :
2 ou 3
est un système complet d'événeùments donc
On sait déjà que
donc (loi d'une
variable aléatoire)
(on pouvait aussi décomposer
on doit avoir 1 au
et 3 au premier sinon on ne fait que 2 tirages donc 2 au 2
)
d'où
"
prend ses valeurs dans
peut être
compris comme "ce sont toutes les valeurs de
" ou bien comme "
prend des valeurs parmi celles là" (plutôt cette
deuxième forme)
Comme on retire au moins une boule à chaque tirage, on en fait au
maximum
et au amaximum,
Et au minimum, on aobtient la boule
au premier. Donc
prend ses
valeurs dans
Comme
on a
ne peut survenir que si l'on retire une seule boule à chaque
tirage. Donc si pour tout
on tire au
tirage la plus
grande des boules
restantes. Donc
en codant
l'événement "obtenir
au
tirage"
On a donc
le conditinnement donne les boules restantes dans l'urne (qui sont
équiprobables) :
On connait déjà
donc on ne
s'intéresse à
que pour
Pour avoir
on réutilise
via la formule des probabiités totales :
est un
système complet d'événements. Donc
Si
alors
et comme
on a
N.B. si
et que
il reste
boules après le premier
tirage donc on les aura épuisées en
tirages au plus tard (donc
au
). On ne peut donc pas avoir
et
On aurait donc pu extraire de la somme tous les termes de 1 à
Donc
Si
est supérieur ou égal à
(donc
est supérieur à 2 et on peut réutiliser le
précédent) et
supérieur ou égal à
, on a :
Donc pour
et
on a
Pour
on a pour tout entier
donc
et la propriété est encore vraie pour
Enfin pour
, le seul cas non prouvé est
(
est
déjà traité et
donne des probabilité nulles)
Donc si
Comme
, on a
On enlève de la prmeière somme le terme pour
et on réindexe la seconde par
Comme
on a
Et
quand
tend vers l'infini.
On réutilise la méthode précédente :
Comme
on a
Et comme
on a alors
Donc
quand
tend vers
l'infini.
Soit
une suite de variables
aléatoires indépendantes telle que, pour tout i entier naturel non
nul,
suit la loi de Bernoulli de paramètre
. On
pose :
suit une loi de bernouilli de paramètre 1 donc
et
Donc
et
ont même loi.
On a pour tout entier
(même si
auquel cas tous les
événements sont impossibles)
et comme les valueurs possibles de
ne sont que 0 et 1,
Les deux étant incompqatibles et
(qui ne dépend que de
) étant indépendant de
C.Q.F.D
On a alors par récurrence sur
que pour tout entier
( et on
devra traiter à part le cas
qui fait intervenir
si on
n'a pas inclus la valeur
au dessus) que
donc que
et
ont même loi.
Comme
et
ont la même loi, elles ont la même
varoiance et la même espérance.
Or
et comme les
sont indépendantes,
Et on retourve donc bien
et
Partie 3 : Etude de la variable aléatoire Y
.
Pour
, comme la seule boule dans l'urne est 0,
et la
variable certeine égale à 1.
Pour
on a dans l'urne les boules
et 2. Les sommes
possibles sont donc : 1 (1 tiré en premier) et 2+1 (2 tiré en
premié puis 1)
Donc
Comme
(ontire
en premier) on a
et
Si on tire la boule
en premier, il reste les boules jusqu'à
Donc pour faire un total de
il reste à faire un total de
avec
les
boules restantes.
Donc si
est supérieur ou égal à
, pour tout entier
non nul et tout entier
supérieur ou égal à
On a besoin de
pour que la variable
soit bien définie.
(si
on ne pourra pas obtenir un total plus petit que le premier
tirage, ce que l'on retrouve bien dans cette formule où toutes les
probailités seront nulles)
On a alors par la formule des probabilités totales :
est un
système complet d'événements donc
on doit traiter à part le cas où
et la probabilité sera
nulle pour
Pour
on a
(il faut obtenir
dès le premier tirage)
donc la
formule est vraie pour
On traite à présent uniquement pour
on a
Comme
n'intervient plus que comme borne supérieure de la somme et
dans le
, on a donc
Donc
On calcule l'espérance de
en réutilisant la relation
précédente :
Les valeur possibles de
sont d'une part les mêmes que celles de
(si on ne comence pas par
)
et d'autte part celles
augementées de
(si on tire
en
premier)
Donc quand
parcours
, il prend toutes les
valeurs de
et
prendra également
toutes les valeurs de
(si
alors
et si
alors
)
Finalement en réindexant la deuxième somme par
Comme
et que l'on a une suite arithmétique de
raison 1 on a
Partie 4. Simulation informatique.
Dans la procédure Truc, récurssive, a et b sont
des accumulateurs qui calculent
et
(raison pour laquelle
elles sont déclarées var ) et alea représente la boule tirée
au hasard.
En effet :
on tire un nombre (boule) au hasard entre 1 et n alea : =
random (n) + 1
on affiche le numéro obtenu writeln (alea)
on compte un tirage de plus a : = a+l
on accumule le numéro b : = b + alea
puis on recommence avec les boules restantes (numéros
) Truc ( alea- l , a , b)
Il s'arrète quand le numéro
est obtenu (et ne totalise
pas ce numéro)
le programme
demande le nombre total de boules
initialise les compteurs à 1 (et pas à 0...?) car le tirage
avec la boule 1 n'est pas comptabilisé (les compteurs étant
après la condition if alea > 1 then.
fait les tirages Truc ( n , a , b) ;
puis affiche les résultats writeln ('a = `, a , 'b = ', b)
Avec un programme itératif :
var n , a , b : integer ;Begina : =0 ; b : = 0; .write (` n : ') ; readln (n);repeat n : = random (n) + 1 ; writeln (n) ; a : = a+l; b : = b + n;until n=1writeln ('a = `, a , 'b = ', b),End.
ce qui est beaucoup plus simple et naturel.
Partie 5.
On considère l'urne
contenant
boules
numérotées entre
et
. A partir de l'urne
on effectue
la suite de tirages décrite dans l'entête du problème. Pour
entier de
, on définit
la variable
aléatoire égal à
si, lors d'un quelconque de ces tirages, on
a obtenu la boule numéro
, égale à
sinon.
La boule
ne peut être obtenue que lors du premier tirage.
Donc
et
et
donc
suit une loi de Bernouilli de
paramètre
La variable
vaut 1 si le numéro
est obtenu lors des
tirages. Or l'expérience s'arrète justement au tirage de 1. Donc
est la variable constante qui vaut 1.
Comme précédemment on distingue suivant la valeur de
Si
et que
on retire toutes les boules
- donc
la boule
- et on ne peut plus l'obtenir
Donc
Si
on a eu
dès le premier tirage donc
Si
et que
on continue l'expérience avec les
boules
Donc
En utilisant la formule des probabilités totales, on trouve alors :
système
complet d'événement et
un entier de
Pour calculer
on a besoin de
pour tous les
de
à
On prend donc comme hypothèse de récurrence et on démonter que
pour tout
on a pour tout
et pour tout
de
suit la loi de Bernoulli de paramètre
.:
C'est vrai pour
où et
est cerataine égale à 1 donc suit une
loi de bernouilli de paramètre
Soit
tel que pour tout
on a et pour tout
de
et pour tout
suit la loi de
Bernoulli de paramètre
.
Alors pour
il y a à démontrer la propriété pour
(les autres cas sont dans l'hypothèse) :
on peut utiliser la propriété du * pour
, la valeur
devra être traîtée à part.
Pour
on a
et comme
alors
et
par
hypothèse de récurrence suit une loi de Bernouilli de paramètre
Donc
Donc pour tout
la variable aléatoire
suit bien une loi de Bernouilli de paramètre
et pour
on a d'après *
qui suit
une loi de Bernouilli de paramètre
C.Q.F.D.
Donc pour tout entier
on a pour tout
qui suit une loi de Bernouilli de paramètre
est le nombre de boules
obtenue lors des tirages
(on en a eu
ou
)
Donc
est le nombre total de boules
obtenues, tous numéros confondus.
Donc
et
car l'espérance d'une variable
suivant une loi de Bernouilli de paramètre
est
Et on retrouve bien le résultat vu précédemment.
On a
En effet si la boule
est tirée, alors
et on rajoute
et on ne rajoute rien au total sinon.
Donc
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