CCIP 2000 Eco
MATHEMATIQUES II


Ce problème se compose de cinq parties : il étudie deux suites de variables aléatoires discrètes et une simulation informatique. Si le candidat ne parvient pas à établir un résultat demandé, il l'indiquera clairement, et il pourra pour la suite ,admettre ce résultat.
Dans tout le problème, n désigne un entier naturel non nul.
On considère une urne Un contenant n boules numérotées de 1 à n. On tire une boule au hasard dans Un . On note k le numéro de cette boule. Si k est égal à 1, on arrête les tirages. Si k est supérieur ou égal à 2, on enlève de l'urne Un les boules numérotées de k à n (il reste donc les boules numérotées de 1 à k-1), et on effectue à nouveau un tirage dans l'urne. On répète ces tirages jusqu'à l'obtention de la boule numéro 1. On note Xn la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour l'obtention de la boule numéro 1. On note Yn la variable aléatoire égale à la somme des numéros des boules tirées. On note E( Xn ) et V( Xn ) (respectivement E( Yn ) et V( Yn )) l'espérance et la variance de Xn (respectivement Yn ).

Partie 1.

  1. On pose : hn = k=1 n\dfrac1k=1+\dfrac12+.....+\dfrac1n
    1. Montrer, pour tout entier naturel k non nul, les inégalités :
      \dfrac1k+1\leqslantln(k+1)-lnk\leqslant\dfrac1k

      ln désigne le logarithme népérien.
    2. En déduire les inégalités : ln(n+1)\leqslant hn \leqslant1+lnn
    3. Déterminer un équivalent simple de hn quand n tend vers l'infini.
  2. On pose : kn = k=1 n\dfrac1 k2 =1+\dfrac1 22 +.....+\dfrac1 n2
    1. Montrer, pour tout entier k supérieur ou égal à 2, l'inégalité
      \dfrac1 k2 \leqslant\dfrac1k-1-\dfrac1k

    2. En déduire la majoration kn \leqslant2
    3. Déterminer un équivalent simple de hn - kn quand n tend vers l'infini.

Partie 2 : Etude de la variable aléatoire X n

On note In la variable aléatoire égale au numéro de la première boule tirée dans l'urne Un .
    1. Quelle est la loi de In ?
    2. Quelle est la loi conditionnelle de Xn sachant In =1 ?
    3. Si n est supérieur ou égal à 2, montrer :
      j\mathbb × ,k{2,...,n},   P( Xn =j/ In =k)=P( Xk-1 =j-1)

    1. Quelle est la loi de X1 ?
    2. Quel est l'événement ( X2 =1) ? Donner la loi de X2 , son espérance et sa variance.
    3. Calculer P( X3 =2/ I3 =1), P( X3 =2/ I3 =2), P( X3 =2/ I3 =3) . Déterminer la loi de X3 , son espérance et sa variance.
    1. Montrer que Xn prend ses valeurs dans {1,2,...,n}.
    2. Déterminer P( Xn =1) et P( Xn =n)
    3. Si n est supérieur ou égal à 2, montrer la relation :
      j\geqslant2,   P( Xn =j)=\dfrac1n k=1 n-1P( Xk =j-1)

    4. Si n est supérieur ou égal à 3 et j supérieur ou égal à 2, calculer : nP( Xn =j)-(n-1)P( Xn-1 =j)
      En déduire, si n est un entier supérieur ou égal à 2 :
      j\geqslant1,P( Xn =j)=\dfracn-1nP( Xn-1 =j)+\dfrac1nP( Xn-1 =j-1)

    1. Si n est supérieur ou égal à 2, montrer, en utilisant *. :
      E( Xn )=E( Xn-1 )+\dfrac1n

    2. En déduire E( Xn ) et donner un équivalent simple de E( Xn ) quand n tend vers l'infini.
    1. Si n est supérieur ou égal à 2, calculer E( Xn 2 ) en fonction de E( Xn-1 2 ) et de E( Xn-1 ).
    2. En déduire: V( Xn )= hn - kn (en reprenant les notations introduites en Partie 1).
    3. Donner un équivalent de V( Xn ) quand n tend vers l'infini.
  1. Soit ( Ti )i\geqslant1 une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour tout i entier naturel non nul, Ti suit la loi de Bernoulli de paramètre \dfrac1i. On pose :
    Sn = i=1 n Ti = T1 +.....+ Tn

    1. Vérifier que X1 et T1 ont même loi.
    2. Si n est supérieur ou égal à 2, montrer, pour tout entier j non nul :
      P( Sn =j)=\dfrac1nP( Sn-1 =j-1)+\dfracn-1nP( Sn-1 =j)

      En déduire que Xn et Sn ont même loi.
    3. Retrouver ainsi E( Xn ) et V( Xn ).

Partie 3 : Etude de la variable aléatoire Y n .

  1. Donner la loi de Y1 .
    1. Quelles sont les valeurs prises par Y2 ?
    2. Déterminer la loi de Y2 .
    1. Si n est supérieur ou égal à 2, montrer, pour tout entier j non nul et tout entier k supérieur ou égal à 2
      P( Yn =j/ In =k)=P( Yk-1 =j-k)

    2. Si n est supérieur ou égal à 2, en déduire, pour tout entier j supérieur ou égal à 1
      P( Yn =j)=\dfracn-1nP( Yn-1 =j)+\dfrac1nP( Yn-1 =j-n)

    3. Si n est supérieur ou égal à 2, montrer E( Yn )=E( Yn-1 )+1
      Que vaut E( Yn ) pour tout entier n supérieur ou égal à 1 ?

Partie 4. Simulation informatique.

Dans le langage informatique PASCAL, la fonction random(n) renvoie un entier aléatoire compris entre 0 et n-1. On donne la procédure suivante
Procedure Truc (n : integer ; var a, b : integer) ;
var alea : integer ;
Begin
alea : = random (n) + 1 ;
writeln (alea) ;
if alea > 1 then begin
a : = a+l;
b : = b + alea;
Truc ( alea-l , a , b)
End;
et le programme principal suivant :
var n , a , b : integer ;
Begin
a : = l ; b : = l; .
write (` n : ') ; readln (n);
Truc ( n , a , b) ;
writeln ('a = `, a , 'b = ', b),
End.
Que fait ce programme ? Que représentent a et b ?
Cet algorithme est récursif. Transformer ce programme en un programme itératif écrit en Pascal.

Partie 5.

On considère l'urne Un contenant n boules numérotées entre 1 et n. A partir de l'urne Un on effectue la suite de tirages décrite dans l'entête du problème. Pour i entier de {1,...,n} , on définit Zi (n) la variable aléatoire égal à 1 si, lors d'un quelconque de ces tirages, on a obtenu la boule numéro i, égale à 0 sinon.
  1. Quelle est la loi de Zn (n) ? Que dire de la variable Z1 (n) ?
    1. Si n est supérieur ou égal à 2, et i un entier de {1,...,n-1}, montrer la relation
      P( Zi (n) =1)=\dfrac1n+ k=i+1 n\dfrac1nP( Zi (k-1) =1)

    2. Montrer par récurrence que, pour tout n de \mathbb × et pour tout i de {1,...,n}, Zi (n) suit la loi de Bernoulli de paramètre \dfrac1i.
  2. Que vaut i=1 n Zi (n) ? Retrouver ainsi E( Xn ).
  3. Retrouver E( Yn ).



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On 18 May 2004, 00:02.