Corrigé HEC maths II 2003 par Pierre Veuillez
Partie I : Expression de l'espérance du chiffre d'affaire
est le nombre de passagers se présentant parmi
chacun ayant une probablité de
et les choix étant
indépendants. Donc
et
et
Le nombre total de passager est
pour
places.
Si
tous ont une place et
Si
il y en a
qui n'ont pas de place.
Le chiffre d'affaire est la différence entre les sommes perçues et les sommes déboursées à savoir en centaine d'euros :
celles servies aux démisionnaires :
celles servies au surnuméraires :
les sommes perçues étant
euros
Donc
Comme on a déjà lu l'énnoncé jusqu'à la partie III, on
se réjouit de la concordance avec la suite de l'énnoncé de
et de
!
On suppose, dans cette question seulement, que
est inférieur
ou égal à
.
Comme
il n'y a pas de client en surnombre donc
Il reste donc
et
La compagnie cherche alors à évaluer la probabilité
et à savoir si le nombre
aurait pu être choisi
de façon à optimiser son chiffre d'affaire.
Partie II : Approximations dans des cas particuliers
est dérivable sur
(produit) et (le
terme
ne se dériva pas comme les autres)
la factorielle peut se simplifier car
donc
pour encadrer
on étudie son sens de variation :
est dérivable sur
et (
pour
la dérivée de
)
D'où le tableau de variations :
affine
Donc
est minimale en
et comme elle est négative
Donc d'après l'inégalité des accroissements finis (sans
la valeur absolue, l'ordre des termes est à vérifier)
si
et
sont deux réels vérifiant
, on a :
On suppose, dans cette question, que
est égal
à
et que
est strictement supérieur à
.
est le nombre de clients absents parmi
avec une
probablité de
pour chacun, indépendamment les uns des autres.
Donc
On supposera, dans les prochains calculs, que la loi de la variable
aléatoire
peut être remplacée par la loi de Poisson de
paramètre
dont on note
la fonction de répartition.
On se ramène à
On a alors :
On a :
si
est égal à
on a
et
car
est
décroissante
Et comme
on a finalement
si
est égal à
on a
et
car
est décroissante mais ce n'est
pas l'inégalité qu'il nous faut ...
On utilise le résultat de l'IAF : pour
on a
Donc si
est égal à
,
est
strictement supérieur à
Partie III : Étude d'une suite de variables aléatoires Pour tout entier naturel
non nul, on pose
et on définit sur
les variables aléatoires
et
par:
Comme
est une somme de variables suivant des lois
Binômiales (Bernouilli) de même probabilité de succès
indépendantes, on a
Si
on a
et
est constante égale
à 0
Comme
on a
et
Si
alors
peut valoir
(si
) ou toutes
les valeurs de
à
(si
)
Donc
Comme
et que
on a
Donc
et
Donc la suite
est croissante et majorée par
(ce sont des porbabilités) donc
convergente.
celà ressemble à l'inégalité de
Bienaymé-Tchebichev :
avec ici
et
Reste à faire apparaître
que l'on voit en partie dans le
probabilité de l'événement contraire :
On a
Reste à faire disparaître la valeur absolue :
d'où l'inégalité sur les probabilités :
On factorie par
:
On revient à
Et par passage à la limite dans l'inégalité (on sait
déjà que
converge vers une limite
)
et
avec le cas concret de la partie I, quand le nombre de billet vendu tend
vers l'infini, on est presque sûre que des passagers seront en
suréservation (on aurait pu mettre
à la place de
)... ce
qui n'est pas étonnant.
Soit
un entier naturel non nul.
On a 3 cas à considérer :
Si
on a
et
si
alors
et
donc
si
alors
et
donc
Si
on a
et
Donc
et
Si
on a
et
si
alors
et
donc
si
alors
et
donc
Donc dans tous les cas
ou 1 Donc
est une
variable de Bernoulli
D'après l'étude exhaustive faite plus haut
est réalisé
.
On a
car
définie à partir de
est
uindépendante de
finalement
Comme
on a
et en substituant
à
:
On a
donc la fonction
est
strictement décroisante sur
le signe de
est celui de
Or pour
le sens de variation donne
et comme
on a alors
Donc si
est inférieur ou égal à
la suite
est croissante.
On suppose, dans cette question, que
est strictement
supérieur à
Pour comparer
et
on calcule leur
différence :
donc
La suite
est
croissante et tend vers 1 Donc il existe
tel que pour tou
Soit
la plus petite de ces valeurs. On a alors
Et d'après le sens de variation de la suite :
De plus, pour
on a
car
donc
On a vu que
donc pour
on a
et
pour
on a
Donc
est maximale pour
Soit
cette valeur maximale.
Pour
on a
et
Donc le maximum est supérieur à cette valeur particulière et
.
On suppose à nouveau, dans cette question, que
est
strictement supérieur à
On a
donc comme
alors
Pour
,
peut prendre les valeurs entières de
à
et pour tout
donc
car pour
le terme
est nul.
On reconnait dans
l'espérance de
que l'on fait donc
apparaître : (pour
pour avoir l'écriture
précédente)
finalement, pour
, les inégalités
Donc
et comme
on a bien finalement
.
On calcule la différence
Donc
et inférieur sinon.
donc la valeur maximale, en particulier vérifie
l'inégalité précédente pour
Si
alors d'après on a
pour tout entier
donc
Et si
alors
et commme
alors
et
d'où finalement
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version 3.59. On 18 May 2004, 00:02.