Corrigé HEC maths II 2003 par Pierre Veuillez
Partie I : Expression de l'espérance du chiffre d'affaire
  1. X est le nombre de passagers se présentant parmi n, chacun ayant une probablité de 0,8 et les choix étant indépendants. Donc XB(n,p) et E(X)=np et V(X)=np(1-p)
  2. Le nombre total de passager est X(ω) pour places.
  3. Le chiffre d'affaire est la différence entre les sommes perçues et les sommes déboursées à savoir en centaine d'euros :
    les sommes perçues étant n euros
    Donc G=n-2Y-0,8(n-X)=0,2n-2Y+0,8X
    Comme on a déjà lu l'énnoncé jusqu'à la partie III, on se réjouit de la concordance avec la suite de l'énnoncé de Y et de G !
  4. On suppose, dans cette question seulement, que n est inférieur ou égal à .
    Comme n, il n'y a pas de client en surnombre donc Y=0
    Il reste donc G=0,2n+0,8X et
    E(G)=0,2n+0,8E(X)=n(0,2+0,8p)
La compagnie cherche alors à évaluer la probabilité P([X\geqslant]) et à savoir si le nombre n aurait pu être choisi de façon à optimiser son chiffre d'affaire.

Partie II : Approximations dans des cas particuliers
    1. gm est dérivable sur + * (produit) et (le terme x0 ne se dériva pas comme les autres)
      gm ' (x) = - e-x k=0 m xk k! + e-x k=1 mk xk-1 k! = e-x (- k=0 m xk k! + k=1 m xk-1 (k-1)! ) = e-x (- k=0 m xk k! + h=0 m-1 xh h! ) = - e-x xm m!

      la factorielle peut se simplifier car h1 donc h!=h(h-1)!
      pour encadrer gm ' on étudie son sens de variation :
      gm ' est dérivable sur + * et ( m0 pour la dérivée de x xm )
      gm '' (x)=- 1 m! (- e-x xm + me-x xm-1 ) = xm-1 e-x m! (x-m)

      D'où le tableau de variations :
      x 0 m +
      x-m - 0 + affine
      gm '' (x) - +
      gm ' (x)
      Donc gm ' est minimale en m et comme elle est négative
      x\mathbb + * ,   - e-m mm m! = gm ' (m)\leqslant gm ' (x)\leqslant0.

    2. Donc d'après l'inégalité des accroissements finis (sans la valeur absolue, l'ordre des termes est à vérifier)
      si a et b sont deux réels vérifiant 0<a<b, on a :
      -(b-a) e-m mm m! \leqslant gm (b)- gm (a)\leqslant0 \   et 0\leqslant gm (a)- gm (b)\leqslant(b-a) e-m mm m!

  1. On suppose, dans cette question, que p est égal à 0,99 et que n est strictement supérieur à .
    1. n-X est le nombre de clients absents parmi n avec une probablité de 0,01 pour chacun, indépendamment les uns des autres.
      Donc n-XB(n;0,01)
    2. On supposera, dans les prochains calculs, que la loi de la variable aléatoire n-X peut être remplacée par la loi de Poisson de paramètre 0,01n dont on note F la fonction de répartition.
      On se ramène à n-X:[X\geqslant]=[X-n\geqslantN-n]=[n-Xn-N]
      On a alors :
      P([X\geqslant])=F(n-N)

    3. On a :
      F(n-)= k=0 -nP(X=k)= k=0 -n (0,01n)k e-0,01n k! = gn- (0,01n)

      • si n est égal à 302 on a 0,01n=3,02 et n-=2
        P([X\geqslant])=P([X\geqslant300])= F3,02 (2)= g2 (3,02) g2 (3) car g2 est décroissante
        Et comme g2 (3)= F3 (2) on a finalement P([X\geqslant]) F3 (2)0,5
      • si n est égal à 303 on a 0,01n=3,03 et n-=3
        P([X\geqslant])= F3,03 (3)= g3 (3,03) g3 (3) car g3 est décroissante mais ce n'est pas l'inégalité qu'il nous faut ...
        On utilise le résultat de l'IAF : pour 0<33,03 on a 3,03-3=0,03
        0 g3 (3)- g3 (3,03) e-3 33 3! 0,030,006 et g3 (3,03) g3 (3)- e-3 33 3! 0,030,641>0,6

        Donc si n est égal à 303, P([X\geqslant]) est strictement supérieur à 0,6
Partie III : Étude d'une suite de variables aléatoires
Pour tout entier naturel n non nul, on pose   Xn = k=1 n Tk  et on définit sur (Ω,A,P) les variables aléatoires Yn et Gn par:
ωΩ,   Yn (ω)={ Xn (ω)- si Xn (ω)\geqslant+1 0 si Xn (ω)\leqslant


et     Gn =0,2n+0,8 Xn -2 Yn

    1. Comme Xn est une somme de variables suivant des lois Binômiales (Bernouilli) de même probabilité de succès p indépendantes, on a Xn B(n,p)
    2. Si n on a Xn et Yn est constante égale à 0
    3. Comme 12 on a G1 =0,2·1+0,8 X1 -2·0 et E( G1 )=0,2+0,8p
    4. Si n> alors Yn peut valoir 0 (si Xn ) ou toutes les valeurs de 1 à n- (si Xw +1 )
      Donc Yn (Ω)=[[0,n-]]
    5. Comme Xn+1 = Xn + Tn+1 et que Tn 0, on a Xn+1 Xn
      Donc   [ Xn \geqslant][ Xn+1 \geqslant] et P[ Xn \geqslant]P[ Xn+1 \geqslant]
      Donc la suite (P[ Xn \geqslant])n\geqslant1 est croissante et majorée par 1 (ce sont des porbabilités) donc convergente.
    6. celà ressemble à l'inégalité de Bienaymé-Tchebichev :
      P(| Xn -E( Xn )|ϵ) V( Xn ) ϵ2

      avec ici E( Xn )=np et V( Xn )=np(1-p)
      Reste à faire apparaître [ Xn -np\geqslant-ϵ] que l'on voit en partie dans le 1- V( Xn ) ϵ2 probabilité de l'événement contraire :
      On a
      P(| Xn -E( Xn )|ϵ)=1-P(| Xn -E( Xn )|ϵ) 1- V( Xn ) ϵ2 =1-\dfracnp(1-p) ϵ2

      Reste à faire disparaître la valeur absolue :
      [| Xn -E( Xn )|ϵ]=[-ϵ Xn -np-ϵ] [ Xn -np\geqslant-ϵ]

      d'où l'inégalité sur les probabilités :
      P([ Xn -np\geqslant-ϵ])P(| Xn -E( Xn )|ϵ) 1-\dfracnp(1-p) ϵ2

    7. On factorie par n :
      np(1-p) (np- )2 = p(1-p) n(p-/n )2 0

          On revient à P( Xn \geqslant):
      P( Xn \geqslant)=P( Xn -np\geqslant-np) 1-\dfracnp(1-p)(np- )2

      Et par passage à la limite dans l'inégalité (on sait déjà que (P( Xn \geqslant))n converge vers une limite 1)

      1 limn+ P( Xn \geqslant)1

      et limn+ P( Xn \geqslant)=1
      avec le cas concret de la partie I, quand le nombre de billet vendu tend vers l'infini, on est presque sûre que des passagers seront en suréservation (on aurait pu mettre +1 à la place de )... ce qui n'est pas étonnant.
  1. Soit n un entier naturel non nul.
    1. On a 3 cas à considérer :
      • Si Xn (ω)= on a Yn (ω)=0 et Xn+1 (ω)=+ Tn+1 (ω)
        • si Tn+1 =1 alors Xn+1 (ω)=+1 et Yn+1 (ω)=1 donc Yn+1 - Yn =1
        • si Tn+1 =0 alors Xn+1 (ω)= et Yn+1 (ω)=0 donc Yn+1 - Yn =0
      • Si Xn (ω)< on a Yn (ω)=0 et Xn+1 (ω)<+ Tn+1 (ω)
        Donc Yn+1 (Ω)=0 et Yn+1 - Yn =0
      • Si Xn (ω)> on a Yn (ω)= Xn (ω)- et Xn+1 (ω)= Xn (ω)+ Tn+1 (ω)
        • si Tn+1 =1 alors Xn+1 (ω)= Xn (ω)+1> et Yn+1 (ω)= Xn+1 (ω)-= Xn (ω)+1+ donc Yn+1 - Yn =1
        • si Tn+1 =0 alors Xn+1 (ω)= Xn (ω)> et Yn+1 (ω)= Xn (ω)- donc Yn+1 - Yn =0
      Donc dans tous les cas Yn+1 - Yn =0 ou 1 Donc Yn+1 - Yn est une variable de Bernoulli
      D'après l'étude exhaustive faite plus haut   [ Yn+1 - Yn =1]   est réalisé si et seulement si [ Tn+1 =1][ Xn \geqslant].
    2. On a
      E( Yn+1 )-E( Yn )=E( Yn+1 - Yn )=P( Yn+1 - Yn ) (Bernouilli) =P( [ Tn+1 =1][ Xn \geqslant]) =P( Tn+1 =1)P( Xn \geqslant) =pP([ Xn \geqslant])

      car Xn définie à partir de T1 Tn est uindépendante de Tn+1 . finalement
      E( Yn+1 )-E( Yn )=pP([ Xn \geqslant])

      Comme Gn =0,2n+0,8 Xn -2 Yn on a
      E( Gn )=0,2n+0,8E( Xn )-2E( Yn ) =0,2n+0,8np-2E( Yn )

      et en substituant n+1 à n :
      E( Gn+1 )-E( Gn )=0,2+0,8p-2pP([ Xn \geqslant])

    3. On a
      0,2+0,8x x = 0,2 x +0,8

      donc la fonction   x 0,2+0,8x x   est strictement décroisante sur ]0,1[
    4. le signe de E( Gn+1 )-E( Gn ) est celui de
      0,2+0,8p-2pP([ Xn \geqslant])=p( 0,2+0,8p p -2P([ Xn \geqslant]))
      Or pour p1/6 le sens de variation donne 0,2+0,8p p 0,2+0,8/6 1/6 =1,2+0,8=2 et comme 2P([ Xn \geqslant])2 on a alors E( Gn+1 )-E( Gn )0
      Donc si p est inférieur ou égal à \dfrac16  la suite (E( Gn ))n\geqslant1 est croissante.
  2. On suppose, dans cette question, que p est strictement supérieur à \dfrac16  
    1. Pour comparer \dfrac0,2+0,8p2p et 1, on calcule leur différence :
      \dfrac0,2+0,8p2p-1=\dfrac0,2-1,2p2p=\dfrac0,2(1-6p)2p<0

      donc \dfrac0,2+0,8p2p<1
      La suite nP([ Xn \geqslant]) est croissante et tend vers 1 Donc il existe n1 tel que pour tou n n1 :P([ Xn \geqslant])> \dfrac0,2+0,8p2p
      Soit n0 la plus petite de ces valeurs. On a alors P([ X n0 \geqslant])>\dfrac0,2+0,8p2p
      Et d'après le sens de variation de la suite : n< n0 ,  P([ Xn \geqslant])\leqslant\dfrac0,2+0,8p2p
      De plus, pour n< on a P([ Xn \geqslant])=0 car Xn (ω)=[[0,n]], donc n0
    2. On a vu que
      E( Gn+1 )-E( Gn )=0,2+0,8p-2pP([ Xn \geqslant])=2p[\dfrac0,2+0,8p2p-P([ Xn \geqslant])]

      donc pour n< n0 on a E( Gn+1 )-E( Gn )0 et pour n n0 on a E( Gn+1 )-E( Gn )<0.
      Donc E( Gn ) est maximale pour n= n0
      Soit M cette valeur maximale.
    3. Pour n= on a Y =0 et E( G )=0,2+0,8E( X )=(0,2+0,8p)
      Donc le maximum est supérieur à cette valeur particulière et   M\geqslant(0,2+0,8p).
  3. On suppose à nouveau, dans cette question, que p est strictement supérieur à \dfrac16  
    1. On a E( Gn )=0,2n+0,8E( Xn )-2E( Yn ) donc comme E( Yn )0 alors
      E( Gn )0,2n+0,8E( Xn )=n(0,2+0,8p)
    2. Pour n, Yn peut prendre les valeurs entières de 0 à n-
      [ Yn =0]=[ Xn ] et pour tout k>, [ Yn =k]=[ Xn =+k] donc
      E( Yn )= k=0 n-kP( Yn =k)=0+ k=1 n-kP( Yn =k) = k=1 n-kP([ Xn =+k])= k=+1 n(k-)P([ Xn =k]) = k= n(k-)P([ Xn =k])

      car pour k=, le terme (k-)P([ Xn =k]) est nul.
    3. On reconnait dans np l'espérance de Xn que l'on fait donc apparaître : (pour n pour avoir l'écriture précédente)
      E( Yn )= k= n(k-)P([ Xn =k]) k=0 n(k-)P([ Xn =k]) k=0 nkP([ Xn =k])- k=0 nP([ Xn =k]) E( Xn )-·1

      finalement, pour n\geqslant, les inégalités   E( Yn )\geqslantnp- 
      Donc E( Gn )=0,2n+0,8E( Xn )-2E( Yn )0,2n+0,8E( Xn )-2(np-)
      et comme 0,2n+0,8E( Xn )-2(np-)=0,2n+0,8np-2(np-N)=0,2n(1-6p)+2N
      on a bien finalement   E( Gn )\leqslant0,2n(1-6p)+2.
    4. On calcule la différence   n(0,2+0,8p)-[0,2n(1-6p)+2]=2(np-N)
      Donc   n(0,2+0,8p)[0,2n(1-6p)+2]nN/p et inférieur sinon.
    5. donc la valeur maximale, en particulier vérifie l'inégalité précédente pour n= n0 :
      M=E( G0 )0,2 n0 (1-6p)+2 (1)
      • Si n0 /p alors d'après on a E( Gn )n(0,2+0,8p) pour tout entier n donc
        M n0 (0,2+0,8p)(0,2+0,8p) p

      • Et si n0 /p alors
        M=E( G0 )0,2 n0 (1-6p)+2

        et commme p>1/6 alors (1-6p)<0 et 0,2 n0 (1-6p)0,2(1-6p)/p
        d'où finalement
        M0,2(1-6p) p +2=(0,2+0,8p) p




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On 18 May 2004, 00:02.