OPTION ÉCONOMIQUE MATHÉMATIQUES II
Mardi 13 mai 2003, de 8h à 12h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la
qualité de la rédaction, la clarté et la précision des
raisonnements entreront pour une part importante dans
l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités
à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs
calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ;
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel
électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une
règle graduée est autorisée. Partie I : Expression de
l'espérance du chiffre d'affaire Dans cette partie,
est un entier naturel non
nul,
un entier supérieur ou égal à
, et
un réel
strictement compris entre
et
.
Une compagnie aérienne a vendu
billets à cent euros pour le vol
qui peut accueillir jusqu'à
passagers. La probabilité pour
qu'un acheteur se présente à l'embarquement est
et les
comportements des acheteurs sont supposés indépendants les uns des
autres.
Un acheteur qui ne se présente pas à l'embarquement est
remboursé à 80%, tandis qu'un acheteur qui se présente à
l'embarquement mais n'obtient pas de place, le vol étant déjà
complet, est remboursé à 200%.
Soit
la variable aléatoire désignant le nombre d'acheteurs d'un
billet se présentant à l'embarquement, soit
la variable
aléatoire désignant le nombre d'acheteurs d'un billet se
présentant à l'embarquement mais n'obtenant pas de place et soit
la variable aléatoire désignant le montant en centaines d'euros du
chiffre d'affaire de la compagnie sur le vol considéré.
On suppose ces variables aléatoires définies sur le même espace
de probabilité
.
Quelle est la loi de
? Donner son espérance et sa variance.
Préciser, pour tout élément
de
, la
valeur de
en fonction de
et de
, en distinguant
les cas
et
.
Écrire l'expression de
en fonction de
.
On suppose, dans cette question seulement, que
est inférieur
ou égal à
.
Calculer alors l'espérance
de la variable aléatoire
.
La compagnie cherche alors à évaluer la probabilité
et à savoir si le nombre
aurait pu être choisi
de façon à optimiser son chiffre d'affaire.
Partie II : Approximations dans des cas particuliers
On suppose, dans cette question, que
est égal
à
.
Soit
la variable aléatoire définie par:
Donner l'espérance et la variance de la variable aléatoire
.
Par quelle loi approcher la loi de
si
est assez grand ?
Montrer qu'alors une valeur approchée de la probabilité
est
,
où
désigne la fonction de
répartition de la loi normale centrée réduite.
Pour tout réel
supérieur ou égal à
, on pose:
Montrer que la fonction
est croissante.
On suppose que
est égal à
et on donne:
. Que peut-on en
déduire pour
si
est inférieur ou
égal à
, puis si
est supérieur ou égal à
?
Pour tout entier naturel non nul
, on considère la
fonction
définie sur
par
Montrer que la fonction dérivée de
est définie
sur
par:
Montrer qu'elle vérifie la double inégalité:
.
En déduire que, si
et
sont deux réels vérifiant
, on a:
On suppose, dans cette question, que
est égal
à
et que
est strictement supérieur à
.
Préciser la loi de la variable aléatoire
.
On supposera, dans les prochains calculs, que la loi de la variable
aléatoire
peut être remplacée par la loi de Poisson de
paramètre
dont on note
la fonction de répartition.
Que vaut alors
?
Exprimer le nombre
à l'aide d'une fonction
particulière de la question *
On suppose que
est égal à
.
Pour tout réel strictement positif
, on note
la
fonction de répartition de la loi de Poisson de paramètre
et on donne:
Montrer que, si
est égal à
,
est au plus égal à
et que, si
est égal à
,
est strictement supérieur à
.
Partie III : Étude d'une suite de variables
aléatoires On suppose, dans cette partie, que
est un entier naturel
supérieur ou égal à
, que
un réel strictement compris
entre
et
et que
est une suite de variables
aléatoires de Bernoulli de paramètre
, indépendantes,
définies sur un espace de probabilité
.
Pour tout entier naturel
non nul, on pose
et on définit sur
les variables aléatoires
et
par:
Soit
un entier naturel non nul. Préciser la loi de
.
Que peut-on dire de la variable aléatoire
dans le cas
?
Calculer l'espérance de la variable aléatoire
.
Préciser les valeurs que peut prendre
dans le cas
.
Pour tout entier naturel
non nul, comparer les événements
et
.
En déduire que la suite
est monotone et convergente.
Prouver, pour tout entier naturel
non nul et tout réel
strictement positif
, l'inégalité :
Déterminer la limite:
; en déduire l'égalité:
\
.
Soit
un entier naturel non nul.
Montrer que la variable
est une variable de Bernoulli
et justifier l'égalité des événements
.
En déduire les égalités :
Étudier la variation sur
de la fonction
Montrer que, si
est inférieur ou égal à
la suite
est
croissante.
On suppose, dans cette question, que
est strictement
supérieur à
Comparer les nombres
et
, puis
montrer qu'il existe un entier naturel
supérieur ou égal
à
, vérifiant:
En déduire que la valeur maximale de la suite
est obtenue pour
. On note
cette valeur maximale.
Calculer
et en déduire l'inégalité:
.
On suppose à nouveau, dans cette question, que
est
strictement supérieur à
Justifier, pour tout entier naturel
non nul, l'inégalité:
.
Établir, pour tout entier naturel
supérieur ou égal
à
, l'égalité:
En déduire, pour
, les
inégalités
puis
.
Comparer les nombres
et
.
En déduire l'inégalité:
On suppose, dans cette question, que
est égal à
et
que
est égal à
.
En remarquant que, pour
fixé, la variable aléatoire
suit
la même loi que la variable aléatoire
de la partie * et
en exploitant les résultats de la question * de la Partie II, déterminer la valeur de
et donner un encadrement pour
.
On suppose, dans cette question, que
est égal à
et
que
est égal à
.
On a alors:
En exploitant les résultats de la question * de la Partie
II, déterminer la valeur de
et donner un encadrement pour
.
Partie IV : Programmation des calculs utiles
On reprend, dans cette partie, les notations et les définitions de la
Partie *
Pour tout couple
d'entiers naturel, on définit un nombre
réel
de la façon suivante:
Donner la valeur de
pour tout entier naturel
.
Prouver, pour tout couple
d'entiers naturels non nuls,
l'égalité:
Tracer un tableau donnant les valeurs de
pour
et
, dans le cas
particulier où
est égal à
.
Un programme écrit en Pascal comporte les déclarations
suivantes:
CONST p=0.5;N=320;VAR A:ARRAY[0..N] OF REAL;PROCEDURE Init;VAR j:INTEGER;BEGINA[0]:=1;FOR j:= 1 TO N DO A[j]:=0END;PROCEDURE Calcul;VAR j:INTEGER;BEGINFOR j:= N DOWNTO 1 DO A[j]:=(1-p)*A[j]+p*A[j-1]END;
Soit
un entier naturel non nul. On suppose que, dans le programme
principal, la procédure Init est appelée une fois et la
procédure Calcul
fois: que contient le tableau A après
exécution du programme?
Écrire un programme principal faisant appel aux procédures
ci-dessus, permettant de calculer et d'afficher les nombres
et
définis dans la question * de la Partie *
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