Corrigé EML 1993 par Pierre Veuillez
Question préliminaire
Soient k et n deux entiers naturels tels que 0<3kn
    1. Démonter que
      pour tout i tel que 0ik-1, Cn i 1 2 Cn i+1 :
      On part de l'écriture factorielle et on calcule le quotient des deux (on a 0ii+1n) :    
      Cn i = n! i!(n-i)!        et       Cn i+1 = n! (i+1)!(n-i-1)! Cn i - 1 2 Cn i+1 = n! i!(n-i)! - 1 2 n! (i+1)!(n-i-1)! = n![2(i+1)-(n-i)] 2(i+1)!(n-i)! = n! 2(i+1)!(n-i)! [3i+2-n]

      On a i+1kn/3 donc 3i+3n et 3i+2<n donc Cn i < 1 2 Cn i+1
      On procède alors par récurrence décroissante :
      • pour i=k est-ce que Cn k 1 2k-k Cn k ? Oui !
      • Soit 0<ik tel que Cn i 1 2k-i Cn k . Est ce que Cn i-1 1 2k-i+1 Cn k
        Or, comme 0i-1k-1 on a Cn i-1 1 2 Cn i donc Cn i-1 1 2 1 2k-i Cn k = 1 2k-i+1 Cn k
      • Donc par récurrence décroissante, pour tout i tel que 0ik, on a     Cn i 1 2k-i Cn k
    2. Comme dans i=0 k Cn i il y a (pour i=k ) le terme Cn k et que les autres sont positifs on a alors
      Cn k i=0 k Cn i

      On démontre la seconde inégalité en sommant les inégalités Cn i 1 2k-i Cn k pour i[[0,k]]:

      i=0 k Cn i i=0 k 1 2k-i Cn k     donc i=0 k Cn i 1 2k Cn k i=0 k 2i = 1 2k Cn k 2k+1 -1 2-1 1 2k Cn k 2k+1 2 Cn k

  1. Y est le nombre de clients choisissant A parmi 60 clients faisant leur choix indépendemment les uns des autres avec la même probabiltié1/2. Donc YB(60,1/2) et E(Y)=60/2=30 et V(Y)=60/4=15
  2. On note x la probabilité de l'événement "Monsieur X ne satisfait pas toutes les demandes, cette matinée"
    1. Monsieur X ne satisfait pas toutes les demandes, cette matinée si il ne dispose pas d'assez de journeaux pour les demandes de A (si Y>40) et les demandes de B (ceux qui ne demandent pas A donc 60 -Y>40 clients)
      finalement si Y>40 ou Y<20
      Donc x=p(Y>40Y<20)=p(Y>40)+p(Y<20) car les deux sont incompatibles ( Y ne peut pas en même temps être <20 et >40)
      que l'on peut exprimer avec la loi de Y: p(Y>40)= i=41 60p(Y=i) et p(Y<20)= i=0 19p(Y=i)
      finalement :
      x= i=41 60p(Y=i)+ i=0 19p(Y=i)

    2. Rapelons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

      p(|Y-E(Y)|ϵ) V(Y) ϵ2

      on réécrit donc (Y>40Y<20) sous la forme |Y-E(Y)|ϵ:
      Comme E(Y)=30 celà se lit : (Y-30>10Y-30<-10)=|Y-30|>10 ou encore |Y-30|11
      On a donc
      x=p(|Y-E(Y)|11) V(Y) 112 = 15 112 0,12

    3. On revient ici à la loi de Y:
      x = i=41 60p(Y=i)+ i=0 19p(Y=i) = i=41 60 C60 i ( 1 2 )60-i ( 1 2 )i + i=0 19 C60 i ( 1 2 )60 = ( 1 2 )60 ( i=41 60 C60 i + i=0 19 C60 i )

      l'encadrement des coefficents n'est vaklable que pour k60/3=20 donc on y ramène i=41 60 C60 i :
      Comme C60 60-i = C60 i , on réindexe par j=60-i pour i[[41,60]] on a j[[0,19]] et
      i=41 60 C60 i = j=0 19 C60 60-j = j=0 19 C60 j

      d'où
      x=2 ( 1 2 )60 i=0 19 C60 i

      Enfin comme 1960/3 on a
      C60 19 i=0 19 C60 i 2 C60 19     et       C60 19 ( 1 2 )59 x ( 1 2 )58 C60 19

    4. soit en valeur approchée : 0,0035x0,0071
      L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, ne donne ici qu'un résultat extrèmement grossier ! (20 fois moins précise)
(EML 1993)



File translated from TEX by TTM, version 3.59.
On 18 May 2004, 00:02.