Corrigé Pf017 par Pierre Veuillez
On considère deux urnes :
une urne verte contenant une boule rouge et 3 boules vertes
une urne rouge contenant deux boules rouges et deux vertes.
On effectue une suite de tirages d'une boule de la façon suivante :
le premier tirage est effectué dans l'urne verte
à partir du second, ils sont effectués dans l'urne dont la couleur est celle de la boule obtenue au tirage précédent.
Pour tout entier
Les trois premiers tirages
Déterminer la probabilité d'obtenir
C'est : ''obtenir une verte au troisième et des rouges avant'' =
Donc
Comme précédemment, seules les urnes changent :
Plutôt que de décomposer l'événement (réunion puis crible) il est plus facile de passer par l'événement contraire :
Donc
La première idée est de compter les boules rouges obtenues ... et d'espérer que la loi soit usuelle (binomiale ou Hypergéométrique) Mais ici, les tirages ne sont pas indépendants ni la probabilité de Rouge constante.
On en revient donc à la décomposition de l'événement :
Les trois étant incompatibles, (on a soit pile soit face à une tirage donné) :
Les deux premiers tirages
Si le premier tirage a donné une boule rouge, quelle est la probabilité d'obtenir alors une boule verte au second tirage ?
On cherche ici une probabilité conditionnelle... immédiate en interprétant : on fait le second tirage dans l'urne rouge.
Quelle est la probabilité d'obtenir une boule verte au second tirage ?
On connaît les probabilités en conditionnant par le premier tirage.
On utilise donc la formule des probabilités totales :
On a obtenu une boule verte au second tirage : le conditionnement.
Quelle est la probabilité que ce tirage ait été effectué dans l'urne rouge ?
Ici, on conditionne par la conséquence.
On utilise donc la formule de Bayes :
Le
Pour tout entier
On a
Donc
Et comme
Donc la suite
On détermine un réel
Puis on défini la suite auxiliaire
On a donc
Suite qui est donc géométrique de raison
Donc
La première rouge.
Soit
N.B. On n'est pas ici dans la situation type d'une loi géométrique (indépendance et probabilité de succès constante)
Cependant, tant que l'on a vert, la probabilité d'avoir vert reste la
même. Donc la variable du rang de la première rouge (non verte) est
sans mémoire. Comme de plus
et on reconnaît bien
La première verte.
Soit
Là, dès que l'on a rouge, la probabilité d'avoir rouge passe de
On a donc, pour
On a deux formules qui interviennent dans
On découpe donc la somme :
On découpe de même pour l'espérance.
Donc