Pf017

On considère deux urnes :

On effectue une suite de tirages d'une boule avec remise de la façon suivante :

Pour tout entier n non nul, on notera V n le fait d'obtenir une boule verte lors du n i e ´ m e tirage, v n sa probabilité et 𝒱 n le fait de l'effectuer dans l'urne verte -de même pour rouge-.

  1. Les trois premiers tirages
    Déterminer la probabilité d'obtenir

    1. la première boule verte au troisième tirage.

    2. la première boule rouge au troisième tirage.

    3. au moins une boule verte dans les trois premiers tirages.

    4. une seule boule rouge lors des trois premiers tirages.

  2. Les deux premiers tirages

    1. Si le premier tirage a donné une boule rouge, quelle est la probabilité d'obtenir alors une boule verte au second tirage ?

    2. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule verte au second tirage ?

    3. On a obtenu une boule verte au second tirage.

      Quelle est la probabilité que ce tirage ait été effectué dans l'urne rouge ?

  3. Le n i e ´ m e tirage

    1. Pour tout entier n 1 , déterminer v n + 1 en fonction de v n et de r n

    2. En déduire que v n + 1 = 1 4 v n + 1 2 , puis l'expression de v n en fonction de n

  4. La première rouge.

    Soit X la variable aléatoire égale au rang d'apparition de la première boule rouge.

    1. Pour tout entier n 1 , décomposer l'événement ( X = n ) et en déduire la loi de X

    2. Reconnaître une loi usuelle et donner l'espérance et la variance de X

  5. La première verte.

    Soit Y la variable aléatoire égale au rang d'apparition de la première boule verte.

    1. Pour tout entier n 1 , décomposer l'événement ( Y = n )

    2. En déduire P ( Y = n )

    3. Vérifier que n = 1 + P ( Y = n ) = 1

    4. Déterminer enfin l'espérance de Y .