Corrigé EDHEC 2005 par Pierre Veuillez

Un mobile se déplace sur les points à coordonnées entières d'un axe d'origine O

Au départ, le mobile est à l'origine.

Le mobile se déplace selon la règle suivante : s'il est sur le point d'abscisse k à l'instant n , alors, à l'instant ( n + 1 ) il sera sur le point d'abscisse ( k + 1 ) avec la probabilité p ( 0 < p < 1 ) ou sur le point d'abscisse 0 avec la probabilité 1 p .

Pour tout n de , on note X n l'abscisse de ce point à l'instant n et l'on a donc X 0 = 0 .

On admet que, pour tout n de X n est définie sur un espace probabilisé ( Ω , 𝒜 , P ) .

Par ailleurs, on note T l'instant auquel le mobile se trouve pour la première fois à l'origine (sans compter son positionnement au départ).

Par exemple, si les abscisses successives du mobile après son départ sont 0 , 0 , 1 , 2 , 0 , 0 , 1 , alors on a T = 1 . Si les abscisses successives sont: 1 , 2 , 3 , 0 , 0 , 1 , alors on a T = 4 .

On admet que T est une variable aléatoire définie sur ( Ω , 𝒜 , P )

    1. Pour tout k de * , ( T = k ) signifie que le mobile revient en O pour la première fois à k . Donc qu'il y est à k et qu'il n'y était pas avant :

      Conclusion :

      ( T = k ) = i = 1 k 1 ( X i 0 ) ( X k = 0 )

    2. Comme il est au point d'abscisse 0 à l'instant 0 , il passera en 1 avec une probabilité p et reviendra (restera) en 0 avec une probabilité 1 p

      Donc X 1 ( Ω ) = { 0 , 1 } P ( X 1 = 0 ) = 1 p et P ( X 1 = 1 ) = p

      ( X 1 suit une loi de Bernouilli de paramètre 1 p )

    3. En déduire ?????

      Les X i ne sont pas indépendants, mais on a (probabilités composées)

      P ( T = k ) = P ( X 1 0 ) P X 1 0 ( X 2 0 ) \dots P X k 1 0 ( X k = 0 ) = p p \dots ( 1 p ) = p k 1 p car lorsqu'il n'est pas en O , il y revient avec la probabilité ( 1 p ) et il n'y revient pas (avance d'une case) avec la probabilité p .

      Conclusion :

      Donc T suit une loi géométrique de paramètre 1 p

    1. On a vu que X 0 ( Ω ) = { 0 } et X 1 ( Ω ) = { 0 , 1 }

      Soit n 1 tel que X n ( Ω ) = [ [ 0 , n ] ]

      Les valeurs possibles de X n vont de 0 à n . Comme l'abscisse du point peut augmenter de 1 , X n + 1 peut prendre toutes les valeurs de [ [ 1 , n + 1 ] ] .

      Et comme il peut également revenir à l'origine, X n + 1 ( Ω ) = [ [ 0 , n + 1 ] ]

      Donc, par récurrence, pour tout entier naturel n , X n ( Ω ) = [ [ 0 , n ] ]

    2. On applique la formule des probabilités totales avec le système complet d'événements ( X n 1 = k ) 0 k n 1 :

      P ( X n = 0 ) = k = 0 n 1 P ( X n 1 = k ) P X n 1 = k ( X n = 0 ) = k = 0 n 1 ( 1 p ) P ( X n 1 = k ) = ( 1 p ) k = 0 n 1 P ( X n 1 = k ) = 1 p car la probabilité de revenir en O est ( 1 p ) et que ( X n 1 = k ) 0 k n 1 est un système complet d'événements.

      Conclusion :

      P ( X n = 0 ) = 1 p

    1. Comme il ne peut avancer que d'un à chaque étape, pour être en k à l'instant n + 1 , le point devait être en k 1 à l'instant précédent.

      Donc ( X n + 1 = k ) = ( X n = k 1 ) ( X n + 1 = k )

      Et P ( X n + 1 = k ) = P ( X n = k 1 ) P X n = k 1 ( X n + 1 = k ) = p P ( X n = k 1 ) car la probabilité d'avancer d'un est p

      Conclusion :

      n , k { 1 , 2 , \dots n + 1 } , P ( X n + 1 = k ) = p P ( X n = k 1 )

    2. Par récurrence :

      • Pour n = 1 , et pour k = 0 on a P ( X 1 = 0 ) = 1 p = p 0 ( 1 p )

      • Soit n 1 tel que k { 0 , 1 , 2 \dots , n 1 } , P ( X n = k ) = p k ( 1 p ) .

        Comme k { 1 , 2 , \dots n + 1 } : P ( X n + 1 = k ) = p P ( X n = k 1 ) alors pour k 1 { 0 , 1 , 2 \dots , n 1 } ,

        donc pour k [ [ 0 , n ] ] : P ( X n + 1 = k ) = p p k 1 ( 1 p ) = p k ( 1 p )

      Conclusion :

      Donc n * , k { 0 , 1 , 2 \dots , n 1 } , P ( X n = k ) = p k ( 1 p )

      et on a P ( X n + 1 = n + 1 ) = p . P ( X n = n )

      En effet, pour être en n à l'instant n , il doit avoir avancé d'un à chaque étape, ceci avec une probabilité de p .

      Donc la suite ( P ( X n = n ) ) n est géométrique de raison p et de premier terme P ( X 0 = 0 ) = 1

      Conclusion :

      n : P ( X n = n ) = p n 1

    3. Pour calculer la somme, on doit distinguer la valeur k = n et les autres : k = 0 n P ( X n = k ) = P ( X n = n ) + k = 0 n 1 P ( X n = k ) = p n + k = 0 n 1 p k ( 1 p ) = p n + ( 1 p ) 1 p n 1 p = 1 Ce calcul (découpage de ) n'étant valable que pour n 1 0 donc pour n 1

      pour n = 0 : k = 0 0 P ( X 0 = k ) = 1

  1. Dans cette question et dans cette question seulement, on prend p = 1 3 .

    On rappelle que random(3) renvoie au hasard un entier de { 0 , 1 , 2 } .

    Compléter le programme suivant pour qu'il simule l'expérience aléatoire étudiée et affiche la valeur prise par X n pour une valeur de n entrée par l'utilisateur.

    Ici, on a une chance sur trois = p pour que u prenne la valeur 2.

    L'abscisse est stockée dans X

    Donc quand u=3 le mobile avance d'un (X:=X+1)et sinon, il revient à l'origine (X:=0)

    n est l'indice n .

    Program edhec2005 ;

    Var k, n, u, X : integer ;

    begin

    Readln(n) ;

    Randomize ;

    X:=O;

    For k:=1 to n do

    begin

    u := random(3) ;

    if (u = 2) then X := X+1;

    else X := 0;

    end ;

    Writeln (X) ;

    end.

    1. Les trois méthodes classiques pour obtenir ce résultat sont :

      • par récurrence sur n (le plus naturel puisque le résultat est donné)

      • en dérivant la fonction x k = 1 n 1 x

        f ( x ) = k = 1 n 1 x k est dérivable sur et f ( x ) = k = 1 n 1 k x k 1

        Et comme, pour x 1 , f ( x ) = 1 x n 1 x alors f ( x ) = n x n 1 ( 1 x ) + ( 1 x n ) ( 1 x ) 2 = 1 n x n 1 + ( n 1 ) x n ( 1 x ) 2 et donc k = 1 n 1 k x k 1 = 1 n x n 1 + ( n 1 ) x n ( 1 x ) 2 pour tout x 1.

      • en développant ( 1 p ) k = 1 n 1 k p k 1 : ( 1 p ) k = 1 n 1 k p k 1 = k = 1 n 1 k p k 1 k = 1 n 1 k p k = h = 0 n 2 ( h + 1 ) p h k = 1 n 1 k p k = h = 0 n 2 p h + h = 0 n 2 h p h k = 1 n 1 k p k = 1 p n 1 1 p + 0 ( n 1 ) p n 1  car  p 1 = 1 p n 1 ( 1 p ) ( n 1 ) p n 1 1 p = 1 n p n 1 + ( n 1 ) p n 1 p et donc ( 1 p 0 ) k = 1 n 1 k p k 1 = 1 n p n 1 + ( n 1 ) p n ( 1 p ) 2

    2. On calcule l'espérance en traitant à part les valeurs k = 0 et : n : (pour n 2 ) E ( X ) = k = 0 n k P ( X = k ) = 0 P ( X = 0 ) + n P ( X = n ) + k = 1 n 1 k P ( X = k ) = n p n + k = 0 n 1 k ( 1 p ) p k  on fait réapparaître l'expression précédente  = n p n + ( 1 p ) p k = 1 n 1 k p k 1 = n p n + ( 1 p ) p 1 n p n 1 + ( n 1 ) p n ( 1 p ) 2 = p n    p n 1 ( 1 p ) + 1 n    p n 1 + ( n 1 ) p n 1 p = p 1 p n 1 p

      formule qui est également valable pour n = 0 et n = 1.

    1. On a P ( X n + 1 = k ) = p P ( X n = k 1 ) pour k [ [ 1 , n + 1 ] ]

      D'après le théorème de transfert,

      E ( X n + 1 2 ) = k = 0 n + 1 k 2 P ( X n + 1 = k ) = k = 0 n + 1 k 2 p P ( X n = k 1 ) = p h = 1 n ( h + 1 ) 2 p P ( X n ) = p h = 0 n ( h 2 + 2 h + 1 ) p P ( X n ) + 0 = p ( h = 0 n h 2 p P ( X n ) + 2 h = 0 n h p P ( X n ) + h = 0 n p P ( X n ) ) = p ( E ( X n 2 ) + 2 E ( X n ) + 1 )

    2. Avec u n = E ( X n 2 ) + ( 2 n 1 ) p n + 1 1 p , on a : u n + 1 = E ( X n + 1 2 ) + ( 2 ( n + 1 ) 1 ) p n + 2 1 p = p ( E ( X n 2 ) + 2 E ( X n ) + 1 ) + ( 2 n + 1 ) p n + 2 1 p = p E ( X n 2 ) + 2 p 2 1 p n 1 p + p + ( 2 n + 1 ) p n + 2 1 p = p E ( X n 2 ) + p 2 2 ( 1 p n ) + ( 2 n + 1 ) p n 1 p + p = p E ( X n 2 ) + p 2 2 + ( 2 n 1 ) p n 1 p + p = p E ( X n 2 ) + p 2 + p + ( 2 n 1 ) p n + 2 1 p en remplaçant E ( X n ) par sa valeur.

      Et en partant du second membre : p u n + p ( 1 + p ) 1 p = p ( E ( X n 2 ) + ( 2 n 1 ) p n + 1 1 p ) + p ( 1 + p ) 1 p = p E ( X n 2 ) + p 2 + p + ( 2 n 1 ) p n + 2 1 p = u n + 1

      Conclusion :

      u n + 1 = p u n + p ( 1 + p ) 1 p

    3. La suite u est donc arithmético-géométrique.

      On détermine c tel que c = p c + p ( 1 + p ) 1 p c ( 1 p ) = p ( 1 + p ) 1 p c = p ( 1 + p ) ( 1 p ) 2

      Et soit v n = u n c pour tout n entier.

      On a alors v n + 1 = u n + 1 c = p u n + p ( 1 + p ) 1 p ( p c + p ( 1 + p ) 1 p ) = p v n

      Et la suite v est géométrique de raison p et de premier terme v 0 = u 0 p ( 1 + p ) ( 1 p ) 2

      avec u 0 = E ( X 0 2 ) + p 1 p = p 1 p donc v 0 = p 1 p p ( 1 + p ) ( 1 p ) 2 = 2 p ( 1 p ) 2

      v n = 2 p n + 1 ( 1 p ) 2 et u n = v n + c = 2 p n + 1 ( 1 p ) 2 + p ( 1 + p ) ( 1 p ) 2 = 2 p n + 1 + p ( 1 + p ) ( 1 p ) 2

      Et comme E ( X n 2 ) = u n ( 2 n 1 ) p n + 1 1 p = 2 p n + 1 + p ( 1 + p ) ( 1 p ) 2 ( 2 n 1 ) p n + 1 1 p = 2 p n + 1 + p ( 1 + p ) ( 1 p ) ( 2 n 1 ) p n + 1 ( 1 p ) 2 = ( 2 n 1 + p ( 2 n 1 ) ) p n + 1 + p ( 1 + p ) ( 1 p ) 2

    4. On développe le calcul de la variance : V ( X n ) = E ( X n 2 ) E ( X n ) 2 = ( 2 n 1 + p ( 2 n 1 ) ) p n + 1 + p ( 1 + p ) ( 1 p ) 2 p 2 ( 1 p n ) 2 ( 1 p ) 2 = ( 2 n 1 + p ( 2 n 1 ) ) p n + 1 + p ( 1 + p ) p 2 ( 1 2 p n + p 2 n ) ( 1 p ) 2 = p ( 1 p 2 ) [ ( 2 n 1 + p ( 2 n 1 ) ) p n + 1 + p p ( 1 2 p n + p 2 n ) ] = p ( 1 p 2 ) [ ( 2 n 1 + p ( 2 n + 1 ) ) p n + 1 p 2 n + 1 ] = p ( 1 p 2 ) [ 1 + ( 2 n + 1 ) ( 1 + p ) p n p 2 n + 1 ]

      C.Q.F.D.