EDHEC 2005

Un mobile se déplace sur les points à coordonnées entières d'un axe d'origine O

Au départ, le mobile est à l'origine.

Le mobile se déplace selon la règle suivante : s'il est sur le point d'abscisse k à l'instant n , alors, à l'instant ( n + 1 ) il sera sur le point d'abscisse ( k + 1 ) avec la probabilité p ( 0 < p < 1 ) ou sur le point d'abscisse 0 avec la probabilité 1 p .

Pour tout n de , on note X n l'abscisse de ce point à l'instant n et l'on a donc X 0 = 0 .

On admet que, pour tout n de X n est définie sur un espace probabilisé ( Ω , 𝒜 , P ) .

Par ailleurs, on note T l'instant auquel le mobile se trouve pour la première fois à l'origine (sans compter son positionnement au départ).

Par exemple, si les abscisses successives du mobile après son départ sont 0 , 0 , 1 , 2 , 0 , 0 , 1 , alors on a T = 1 . Si les abscisses successives sont: 1 , 2 , 3 , 0 , 0 , 1 , alors on a T = 4 .

On admet que T est une variable aléatoire définie sur ( Ω , 𝒜 , P )

    1. Pour tout k de * , exprimer l'événement ( T = k ) en fonction d'événements mettant en jeu certaines des variables X i .

    2. Donner la loi de X 1 .

    3. En déduire P ( T = k ) pour tout k de * , puis reconnaître la loi de T .

    1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , X n ( Ω ) = [ [ 0 , n ] ]

    2. Pour tout n de * , utiliser le système complet d'événements ( X n 1 = k ) 0 k n 1 pour montrer que : P ( X n = 0 ) = 1 p

    1. Établir que : n , k { 1 , 2 , \dots n + 1 } , P ( X n + 1 = k ) = p P ( X n = k 1 )

    2. En déduire que : n * , k { 0 , 1 , 2 \dots , n 1 } , P ( X n = k ) = p k ( 1 p ) .

      En déduire également la valeur de P ( X n = n ) . Donner une explication probabiliste de ce dernier résultat.

    3. Vérifier que k = 0 n P ( X n = k ) = 1 .

  1. Dans cette question et dans cette question seulement, on prend p = 1 3 .

    On rappelle que random(3) renvoie au hasard un entier de { 0 , 1 , 2 } .

    Compléter le programme suivant pour qu'il simule l'expérience aléatoire étudiée et affiche la valeur prise par X n pour une valeur de n entrée par l'utilisateur.

    Program edhec2005 ;

    Var k, n, u, X : integer ;

    begin

    Readln(n) ;

    Randomize ;

    X:=O;

    For k:=1 to n do

    begin

    u := random(3) ;

    if (u = 2) then X :=.........;

    else X :=.......;

    end ;

    Writeln (X) ;

    end.

    1. Montrer que : n 2 , k = 1 n 1 k p k 1 = ( n 1 ) p n n p n 1 + 1 ( 1 p ) 2

    2. En déduire que E ( X ) = p ( 1 p n ) 1 p .

    1. Montrer, en utilisant la question 3a), que : n , E ( X n + 1 2 ) = p ( E ( X n 2 ) + 2 E ( X n ) + 1 ) .

    2. Pour tout entier naturel n , on pose u n = E ( X n 2 ) + ( 2 n 1 ) p n + 1 1 p

      Montrer que u n + 1 = p u n + p ( 1 + p ) 1 p

    3. En déduire l'expression de u n , puis celle de E ( X n 2 ) en fonction de p et n .

    4. Montrer enfin que: V ( X n ) = p ( 1 p ) 2 ( 1 ( 2 n + 1 ) p n ( 1 p ) p 2 n + 1 )