Corrigé ESCP 2004 par Pierre Veuillez
Dans tout le problème,
On suppose que le nombre de tirages nécessaires pour obtenir au moins une
fois chacune des boules
Cas particulier
Donc
On suppose que
Soit
En notant
Conclusion :
Comme il y a
Conclusion :
IL faut au minimum
Donc les valeurs prises par
On suppose encore que
On
pose :
On admet que les variables aléatoires
Comme
Conclusion :
Donc pour obtenir la
Comme
On pose :
Comme
Et comme les
Comme
Donc le minimum est
Donc comme
En sommant l'inégalité précédente, on obtient :
et donc
On a donc
On a
et donc
Comme
Pour tout entier
Pour
tout entier naturel
Etude des cas particuliers
La probabilité en étant
On suppose, dans cette question, que
Ce n'est pas une hypergéométrique (remise) ni une binomiale (on compte les boules distinctes)
On revient à la définition :
Les tirages sont les paires de boules parmi 10 et sont équiprobables. Il
y en a
Donc
la boule parmi les
ou deux fois la même boule parmi
Donc
Donc
et
Établir, pour tout entier naturel
Comme lors du
les deux étant incompatibles car
Avec
et
car on doit tirer au
On a donc
d'où la relation (recurrence pn,k)
Vérifier que cette égalité reste vraie dans le cas où
on a alors
si
si
Donc dans tous les cas
Et l'égalité reste vraie pour
Pour tout entier naturel non nul
On a
et
On a
Si
En utilisant l'égalité (recurrence pn,k),
établir, pour tout réel
On a
Les deux membres sont dérivables par rapport à
et pour
La suite
On détermine
et la suite
est alors géométrique de raison
Donc
d'où
Conclusion :
Pour tout entier naturel
On
repart de
On prouve alors par récurrence que pour tout entier
Pour
soit
alors
Conclusion :
Comme
Donc
D'où
Conclusion :