ESCP 2004

Dans tout le problème, r désigne un entier naturel vérifiant 1 r 10 . Une urne contient 10 boules distinctes B 1 , B 2 , , B 1 0 . Une expérience aléatoire consiste à y effectuer une suite de tirages d'une boule avec remise , chaque boule ayant la même probabilité de sortir à chaque tirage. Cette expérience est modélisée par un espace probabilisé ( Ω , 𝒜 , P ) .

Partie I : Etude du nombre de tirages nécessaires pour obtenir au moins une fois chacune des boules B 1 , , B r

On suppose que le nombre de tirages nécessaires pour obtenir au moins une fois chacune des boules B 1 , , B r définit une variable aléatoire Y r sur ( Ω , 𝒜 , P ) .

  1. Cas particulier r = 1 .
    Montrer que la variable aléatoire Y 1 suit une loi géométrique; préciser son paramètre, son espérance et sa variance.

  2. On suppose que r est supérieur ou égal à 2 .

    1. Calculer la probabilité pour que les r boules B 1 , B 2 , , B r sortent dans cet ordre aux r premiers tirages.

    2. En déduire la probabilité P ( [ Y r = r ] ) .

    3. Préciser l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire Y r .

  3. On suppose encore que r est supérieur ou égal à 2 . Pour tout entier i vérifiant 1 i r , on désigne par W i la variable aléatoire représentant le nombre de tirages nécessaires pour que, pour la première fois, i boules distinctes parmi les boules B 1 , B 2 , , B r soient sorties (en particulier, on a : W r = Y r ).
    On pose : X 1 = W 1 et, pour tout i vérifiant 2 i r , X i = W i W i 1 .
    On admet que les variables aléatoires X 1 , , X r sont indépendantes.

    1. Exprimer la variable aléatoire Y r à l'aide des variables aléatoires X 1 , , X r .

    2. Interpréter concrètement la variable aléatoire X i pour tout i vérifiant 1 i r .

    3. Montrer que, pour tout i vérifiant 1 i r , la variable aléatoire X i suit une loi géométrique; préciser son espérance et sa variance.

    4. On pose : S 1 ( r ) = k = 1 r 1 k et S 2 ( r ) = k = 1 r 1 k 2
      Exprimer l'espérance E ( Y r ) et la variance V ( Y r ) de Y r à l'aide de S 1 ( r ) et de S 2 ( r ) .

    1. Si k est un entier naturel non nul, préciser le minimum et le maximum de la fonction t 1 t sur l'intervalle [ k , k + 1 ] et en déduire un encadrement de l'intégrale k k + 1 1 t t .

    2. Si r est supérieur ou égal à 2 , donner un encadrement de S 1 ( r ) et en déduire la double inégalité : 10 ln ( r + 1 ) E ( Y r ) 10 ( ln r + 1 )

    3. Si r supérieur ou égal à 2 , établir par une méthode analogue à celle de la question précédente, la double inégalité : 1 1 r + 1 S 2 ( r ) 2 1 r En déduire un encadrement de V ( Y r ) .

Partie II : Etude du nombre de boules distinctes parmi les boules B 1 , B 2 , , B r tirées au moins une fois au cours des n premiers tirages

Pour tout entier n supérieur ou égal à 1 , on suppose que le nombre de boules distinctes parmi les boules B 1 , B 2 , , B r tirées au moins une fois au cours des n premiers tirages, définit une variable aléatoire Z n sur ( Ω , 𝒜 , P ) ; on note E ( Z n ) l'espérance de Z n et on pose Z 0 = 0 .
Pour tout entier naturel n non nul et pour tout entier naturel k , on note p n , k la probabilité de l'événement [ Z n = k ] et on pose : p n , 1 = 0 .

  1. Etude des cas particuliers n = 1 et n = 2 .

    1. Déterminer la loi de Z 1 et donner son espérance.

    2. On suppose, dans cette question, que r est supérieur ou égal à 2 .
      Déterminer la loi de Z 2 et montrer que son espérance est donnée par : E ( Z 2 ) = 19 r 100

  2. Établir, pour tout entier naturel n non nul et pour tout entier naturel k au plus égal à r , l'égalité : 10 p n , k = ( 10 r + k ) p n 1 , k + ( r + 1 k ) p n 1 , k 1 Vérifier que cette égalité reste vraie dans le cas où k est supérieur ou égal à r + 1 .

  3. Pour tout entier naturel non nul n , on définit le polynôme Q n par : pour tout réel x , Q n ( x ) = k = 0 n p n , k x k , et on pose     Q 0 ( x ) = 1.

    1. Préciser les polynômes Q 1 et Q 2 .

    2. Calculer Q n ( 1 ) et exprimer Q n ( 1 ) en fonction de E ( Z n ) ( Q n désignant la dérivée du polynôme Q n ).

    3. En utilisant l'égalité (recurrence pn,k), établir, pour tout réel x et pour tout entier naturel n non nul, la relation suivante : 10 Q n ( x ) = ( 10 r + r x ) Q n 1 ( x ) + x ( 1 x ) Q n 1 ( x )

    4. En dérivant membre à membre l'égalité (recurrence Qn), former, pour tout entier naturel n non nul, une relation entre les espérances E ( Z n ) et E ( Z n 1 ) .
      En déduire, pour tout entier naturel n , la valeur de E ( Z n ) en fonction de n et de r .

    1. Pour tout entier naturel n , le polynôme Q n désigne la dérivée du polynôme Q n .
      En utilisant une méthode semblable à celle de la question précédente, trouver pour tout entier naturel n non nul, une relation entre Q n ( 1 ) et Q n 1 ( 1 ) .
      En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, l'égalité suivante : Q n ( 1 ) = r ( r 1 ) [ 1 + ( 8 10 ) n 2 ( 9 10 ) n ]

    2. Calculer, pour tout entier naturel n , la variance de la variable aléatoire Z n en fonction de n et de r .