EDHEC 2004

On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On lance n fois une pièce équilibrée (c'est-à-dire donnant pile avec la probabilité 1/2 et face également avec la probabilité 1/2), les lancers étant supposés indépendants.

On note Z la variable aléatoire qui vaut 0 si l'on n'obtient aucun pile pendant ces n lancers et qui, dans le cas contraire, prend pour valeur le rang du premier pile.

    1. Déterminer, en argumentant soigneusement, l'ensemble Z ( Ω )

    2. Pour tout k de Z ( Ω ) , calculer P ( Z = k ) . On distinguera les cas k = 0 et k 1 .

    3. Vérifier que k Z ( Ω ) P ( Z = k ) = 1 .

    4. On rappelle que l'instruction random(2) renvoie un nombre au hasard parmi les nombres 0 et 1. Recopier et compléter le programme suivant pour qu'il simule l'expérience décrite ci-dessus, l'entier n étant entré au clavier par l'utilisateur (pile sera codé par le nombre 1 et face par 0).

      Program EDHEC2004 ;
      var k, n, z, lancer : integer ;
      Begin
      Randomize ;
      Readln(n) ; k := 0 ; z := 0 ;
      Repeat
      k := k + 1 ; lancer := random(2) ;

      If (lancer = 1) then .......... ;
      until (lancer = 1) or (..........) ;
      Writeln (z) ;
      end.

    On dispose de n + 1 urnes U 0 , U 1 , \dots , U n telles que pour tout k de { 0 , 1 , , n } l'urne U k contient k boules blanches et n k boules noires.

    On effectue des tirages d'une boule, au hasard et avec remise dans ces urnes de la façon suivante : si après les lancers de la pièce décrits dans la première question, la variable Z prend la valeur k (avec k 1 ), alors on tire une par une et avec remise, k boules dans l'urne U k et l'on note X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues à l'issue de ces tirages. Si la variable Z a pris la valeur 0 , aucun tirage n'est effectué et X prend la valeur 0.

  1. Déterminer X ( Ω ) .

    1. Déterminer, en distinguant les cas i = 0 et 1 i n , la probabilité P Z = 0 ( X = i ) .

    2. Déterminer, en distinguant les cas i = n et 0 i n 1 , la probabilité P Z = n ( X = i ) .

    3. Pour tout k de { 1 , 2 , , n 1 } déterminer, en distinguant les cas 0 i k et k < i n , la probabilité conditionnelle P Z = k ( X = i ) .

    1. Montrer que P ( X = 0 ) = k = 1 n 1 ( n k 2 n ) k + 1 2 n

    2. Montrer que P ( X = n ) = 1 2 n

    3. Exprimer, pour tout i de { 1 , 2 , , n 1 } , P ( X = i ) sous forme dune somme que l'on ne cherchera pas à réduire.

  2. Vérifier, avec les expressions trouvées à la question précédente, que i = 0 n P ( X = i ) = 1 .