(d'après EDHEC 93)

Partie I

Résolution dans l'ensemble des matrice carrées de taille 2 de l'équation Z 2 = A

Z est la matrice inconnue et A une matrice donnée de la forme

A = ( a 1 a 1 a a ) avec 0 < a < 1 .

  1. Dans cette question, on suppose que a = 5 / 8 et donc A = ( 5 / 8 3 / 8 3 / 8 5 / 8 )

    1. Soit P = ( 1 1 1 1 ) . Calculer P 2 puis P 4 .Montrer que P est inversible et trouver sa matrice inverse.

    2. Montrer que la matrice D = P 1 . A . P est diagonale et donner sa valeur.

  2. On se place désormais dans le cas général où A = ( a 1 a 1 a a ) avec 0 < a < 1 .

    Montrer que la matrice D a = P 1 . A . P (où P est la matrice précédente) est diagonale .

  3. Soit Y = P 1 . Z . P .

    1. Montrer que l'équation ( ) équivaut à Y 2 = D a

    2. On cherche à résoudre l'équation ( ) en prenant Y sous la forme générale: Y = ( x y z t )

      1. Ecrire le système de quatre équations a ` quatre inconnues x , y , z et t qui est équivalent a ` l'équation ( )

      2. Montrer (par l'absurde) qu'aucune solution de ( ) ne vérifie x + t = 0 .

      3. Résoudre ce sytème et donner toutes les solutions de l'équation ( ) (on dicutera suivant la valeur de a , 0 < a < 1 ) .

    3. En déduire que l'équation ( ) admet respectivement 0, 2 ou 4 solutions suivant que:

      1. a < 1 / 2 , a = 1 / 2 ou a > 1 / 2 .

    4. Donner les quatre solutions de l'équation dans le cas où a = 5 / 8 .

Partie II

Application dans un probl\eme de probabilit\e.

Dans une f\ete foraine un stand de loterie propose aux joueurs de tenter leur chance de la mani\ere suivante:

On dispose de trois sacs, S , T et U .

Le sac S contient 5 jetons: deux rouges, deux verts et un jaune.

Le sac T contient 8 jetons: 5 marqu\es 1 et 3 marqu\es 0.

Le sac U contient 8 jetons: 3 marqu\es 1 et 5 marqu\es 0.

La personne qui veut tenter sa chance commence par tirer au hasard et simultanément trois jetons du sac S . Si le tirage est tricolore, elle tire au hasard un jeton du sac T , sinon elle tire au hasard un jeton du sac U .

Elle gagne si le dernier jeton tiré est marqué 1.

  1. Dénombrement.

    1. Modéliser les résultats possibles du premier tirage.

    2. Modéliser les résultats ''tirage tricolore''

  2. Probabilité.

    1. Soit E l'évènement: ''les jetons tirés du sac S sont de trois couleurs différentes''. Calculer la probabilité de E et de E .

    2. Soit G 1 l'évènement ''la personne gagne''.

      Calculer la probabilité de G 1 à l'aide de p ( E ) et de p ( E ) et en déduire p ( G 1 ) .

    3. Montrer que ( p ( G 1 ) p ( G 1 ) ) = ( 5 / 8 3 / 8 3 / 8 5 / 8 ) . ( p ( E ) p ( E ) ) .

  3. Le propriétaire du stand modifie les règles du jeu de la façon suivante:

    Puis:

    Elle gagne si le dernier jeton tiré est marqué 1. De plus la composition du sac S est inchangé mais

    n étant un entier 1 n 7 . On pose p = n / 8 et q = 1 p

    On note encore E l'évènement '' les jetons tirés du sac S sont de trois couleurs différentes'' et on note cette fois G 2 l'évènement ''la personne gagne''.

    1. Démontrer que ( p ( G 2 ) p ( G 2 ) ) = B 2 . ( p ( E ) p ( E ) ) avec B = ( p q q p )

    2. Utiliser la question 3. d ) de la partie I pour trouver deux valeurs de n pour lesquelles p ( G 2 ) = p ( G 1 ) ( p ( G 1 ) étant la valeur calculée calculée au 1 ).

(d'après EDHEC 93)