(d'après ESSEC 95) corrig\e par Pierre Veuillez

    1. N 2 = ( b b b b b b b b b b b b b b b b ) . ( b b b b b b b b b b b b b b b b ) = ( 4 b 2 4 b 2 4 b 2 4 b 2 4 b 2 4 b 2 4 b 2 4 b 2 4 b 2 4 b 2 4 b 2 4 b 2 4 b 2 4 b 2 4 b 2 4 b 2 ) = 4 b N .

      Pour n = 1 , N 1 = 1 N et u 1 = 1 convient.

      Soit k 1 et u k réel tel que N k = u k N alors N k + 1 = N k N = u k N N = u k N 2 = 4 b u k N

      Donc avec u k + 1 = 4 b u k on a bien u k + 1 réel et N k + 1 = u k + 1 N

      Donc pour tout entier k 1 ,il existe u k réel tel que N k = u k N .

      Et comme u est géométrique de premier terme u 1 = 1 , on a pour tout entier k 1 , u k = ( 4 b ) k 1

      Mais pour k = 0 , N 0 = I 1 4 b N

    2. M = N + ( a b ) I

    3. D'où, par la formule du binôme, comme N . I = I . N : M n = k = 0 n C n k N k ( a b ) n k I n k = k = 0 n C n k ( a b ) n k N k = C n 0 ( a b ) n I + k = 1 n C n k ( a b ) n k N k k 1  donc  N k = = ( a b ) n I + k = 1 n C n k ( a b ) n k ( 4 b ) k 1 N = ( a b ) n I + 1 4 b ( k = 0 n C n k ( a b ) n k ( 4 b ) k ( a b ) n ) N = ( a b ) n I + ( a + 3 b ) n ( a b ) n 4 b N . On aurait pu aussi faire une démonstration par récurrence.

  1. On a pour tout n , p ( X n + 1 = i / X n = i ) = 1 / 2 et si i j , p ( X n + 1 = i / X n = j ) = 1 / 6 .

    1. ( X n = 0 , X n = 1 , X n = 2 , X n = 3 ) forme un système complet d'évènements. Donc d'après la formule des probabilités totales: p ( X n + 1 = 0 ) = p ( X n + 1 = 0 / X n = 0 ) p ( X n = 0 ) + p ( X n + 1 = 0 / X n = 0 ) p ( X n = 1 ) + p ( X n + 1 = 0 / X n = 0 ) p ( X n = 2 ) + p ( X n + 1 = 0 / X n = 0 ) p ( X n = 3 ) donc

      • p ( X n + 1 = 0 ) = 1 2 p ( X n = 0 ) + 1 6 p ( X n = 1 ) + 1 6 p ( X n = 2 ) + 1 6 p ( X n = 3 )

      • p ( X n + 1 = 1 ) = 1 6 p ( X n = 0 ) + 1 2 p ( X n = 1 ) + 1 6 p ( X n = 2 ) + 1 6 p ( X n = 3 )

      • p ( X n + 1 = 2 ) = 1 6 p ( X n = 0 ) + 1 6 p ( X n = 1 ) + 1 2 p ( X n = 2 ) + 1 6 p ( X n = 3 )

      • p ( X n + 1 = 3 ) = 1 6 p ( X n = 0 ) + 1 6 p ( X n = 1 ) + 1 6 p ( X n = 2 ) + 1 2 p ( X n = 3 )

    2. On a donc V n + 1 = ( 1 / 2 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 2 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 2 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 2 ) V n = M ( 1 / 2 , 1 / 6 ) V n

    3. V est donc une suite géométrique matricielle de raison M et pour tout n entier, V n = M n . ( 1 0 0 0 )

      Or M n = ( 1 2 1 6 ) n I + ( 1 2 + 3 6 ) n ( 1 2 1 6 ) n 4 / 6 N = ( 1 3 ) n I + 3 1 ( 1 3 ) n 2 N Donc V n = [ ( 1 3 ) n I + 3 1 ( 1 3 ) n 2 N ] ( 1 0 0 0 ) = ( 1 3 ) n ( 1 0 0 0 ) + 3 1 ( 1 3 ) n 2 ( 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 ) n + ( 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 ) car | 1 / 3 | < 1 . Donc toutes ces probabilités tendent vers 1 / 4 .

(d'après ESSEC 95)