Soient a et b deux réels, avec b 0 .

On considère la matrice M et N définies par: M = ( a b b b b a b b b b a b b b b a ) et N = ( b b b b b b b b b b b b b b b b ) .

  1. Calcul des puissances de N

    1. Calculer N 2 .

      Démontrer que pour tout entier k 1 , il existe un réel u k tel que N k = u k N .

      Déterminer u k puis N k en fonction de k . Cette formule est-elle valable pour k = 0 ?

    2. Déterminer des réels x et y tels que M = x . N + y . I I est la matrice unité d'ordre 4.

    3. En déduire pour tout entier n , n 1 , la valeur de M n en fonction de I , de N et de n . On montrera que M n = ( a b ) n I + ( a + 3 b ) n ( a b ) n 4 b N

  2. On considère un damier de 4 cases numérotées 0 , 1 , 2 et 3, sur lequel se déplace un pion.

    On note X n le numéro de la case sur laquelle se trouve le jeton à l'instant n.

    On fait les hypothèses suivantes sur le pion:

    1. Exprimer p ( X n + 1 = 0 ) , p ( X n + 1 = 1 ) , p ( X n + 1 = 2 ) et p ( X n + 1 = 3 ) en fonction de p ( X n = 0 ) , p ( X n = 1 ) , p ( X n = 2 ) et p ( X n = 3 ) .

      On note pour tout n entier, V n = ( p ( X n = 0 ) p ( X n = 1 ) p ( X n = 2 ) p ( X n = 3 ) ) .

    2. Déterminer une matrice M telle que pour tout entier n , V n + 1 = M . V n .

    3. Montrer que pour tout n entier, V n = M n V 0 .

    4. En déduire la limite quand n tend vers + des probabilités de X n = 0 , 1 , 2 et 3.

(D'après ESSEC 95)