(E.N. Véto 97) corrig\e par Pierre Veuillez

Première partie

    1. J = M I = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) a) On a J 2 = ( 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ) = 3 J .

    2. Pour n = 0 , M 0 = I = I + 0. J donc avec u 0 = 0 , M = I + u 0 J .

      Soit n tel que M n = I + u n J .

      Alors M n + 1 = M M n = ( I + J ) ( I + u n J ) = I + J + u n J + u n J 2 = I + J + u n J + 3. u n J

      Donc avec u n + 1 = 1 + 4 u n , on a bien M n + 1 = I + u n + 1 J .

      Donc pour tout n entier il existe u n tel que: M n = I + u n J avec pour tout entier n , u n + 1 = 4 u n + 1

    3. v n + 1 = u n + 1 + 1 / 3 = 1 + 4 u n + 1 / 3 = 4 ( u n + 1 / 3 ) = 4. v n et v est une suite géométrique de raison 4.

      Donc v n = 4 n v 0 = 4 n ( u 0 + 1 / 3 ) = 4 n / 3 .

      Finalement u n = v n 1 / 3 = ( 4 n 1 ) / 3 .

  1. On a donc M n = I + ( 4 n 1 ) / 3. J = 1 3 ( 4 n + 2 4 n 1 4 n 1 4 n 1 4 n + 2 4 n 1 4 n 1 4 n 1 4 n + 2 )

Deuxième partie

    1. Traduction de l'énnoncé: en indiciant par le numéro de l'oeuf,

    A n , B n et C n forment un système complet d'évènements. Donc en appliquant la formule des probabilités totales, p ( A n + 1 ) = p ( A n + 1 / A n ) . p ( A n ) + p ( A n + 1 / B n ) . p ( B n ) + p ( A n + 1 / C n ) . p ( C n ) = 1 2 . a n + 1 4 . b n + 1 4 . c n = a n + 1 et de la même façon, b n + 1 = 1 4 . a n + 1 2 . b n + 1 4 . c n et c n + 1 = 1 4 . a n + 1 4 . b n + 1 2 . c n . Donc ( a n + 1 b n + 1 c n + 1 ) = ( 1 2 . a n + 1 4 . b n + 1 4 . c n 1 4 . a n + 1 2 . b n + 1 4 . c n 1 4 . a n + 1 4 . b n + 1 2 . c n ) = ( 1 / 2 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 2 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 2 ) ( a n b n c n )  avec  U = ( 1 / 2 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 2 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 2 )

    U = 1 4 . M . Donc U n = 1 4 n . M n

  1. X est une suite géométrique matricielle de raison U donc ( a n b n c n ) = U n . ( a n b n c n ) = 1 3 ( 1 + 2 / 4 n 1 1 / 4 n 1 1 / 4 n 1 1 / 4 n 1 + 2 / 4 n 1 1 / 4 n 1 1 / 4 n 1 1 / 4 n 1 + 2 / 4 n ) . ( 0 0 1 ) = 1 3 ( 1 1 / 4 n 1 1 / 4 n 1 + 2 / 4 n )

Donc a n = 1 1 / 4 n 3 n + 1 3 ,  b n = 1 1 / 4 n 3 n + 1 3 , c n = 1 + 2 / 4 n 3 n + 1 3  car  | 1 4 | < 1.

(E.N. Véto 97)