(E.N. Véto 97) Première Partie


Soit M = ( 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ) et I la matrice unité de taille 3.

  1. On pose J = M I .

    1. Calculer J 2 en fonction de J .

    2. Montrer par récurrence qu'il existe une suite ( u n ) n de réels telle que pour tout entier naturel n on ait: M n = I + u n J .

      Exprimer u n + 1 en fonction de u n .

    3. Pour tout entier n on pose v n = u n + 1 / 3 .

      Montrer que v est géométrique. En déduire u n en fonction de n .

  2. Ecrire M n pour tout entier naturel n .

Deuxième partie


Les poules pondent des oeufs que l'on classe suivant trois calibres A , B et C ( les petits les moyens et les gros).

On pose X n = ( a n b n c n ) .

    1. Calculer a n + 1 , b n + 1 et c n + 1 en fonction de a n , b n et c n . En déduire une matrice carrée U telle que X n + 1 = U . X n pour tout entier n .

    2. Exprimer U en fonction de M . En déduire U n en fonction de n .

  1. On suppose que le premier oeuf pondu par une poule est de calibre C .

    Déduire des question précédentes a n , b n et c n en fonction de n , ainsi que leurs limites quand n tend vers + .

(E.N. Véto 97)