On a besoin de N, pour le nombre total de tirage. De i comme compteurs. De X
et Y pour
X
n
et
Y
n
et en fin de T pour les Tirages au hasrad d'un parmi 3 (random(3) qui donne 0,
1 ou 2 comme résultat).
-
p
⁣
(
W
1
=
0
)
=
p
(
rien ne bouge
)
=
p
⁡
(
c
1
)
=
1
3
,
p
⁣
(
W
1
=
1
)
=
p
(
B
change de case
)
=
p
⁡
(
b
1
)
=
1
3
,
p
⁣
(
W
1
=
2
)
=
p
(
A
change de case
)
=
p
⁡
(
a
1
)
=
1
3
et
p
⁣
(
W
1
=
3
)
=
p
(
A
et
B
change de case
)
=
p
(
impossible
)
=
0
-
(
W
n
=
0
,
W
n
=
1
,
W
n
=
2
,
W
n
=
3
)
est un système complet d'événements donc
p
⁣
(
W
n
+
1
=
0
)
=
p
⁢
(
W
n
+
1
=
0
/
W
n
=
0
)
⋅
p
⁣
(
W
n
=
0
)
+
p
⁢
(
W
n
+
1
=
0
/
W
n
=
1
)
⋅
p
⁣
(
W
n
=
1
)
+
p
⁢
(
W
n
+
1
=
0
/
W
n
=
2
)
⋅
p
⁣
(
W
n
=
2
)
+
p
⁢
(
W
n
+
1
=
0
/
W
n
=
3
)
⋅
p
⁣
(
W
n
=
3
)
=
p
⁢
(
rien ne change
)
⋅
p
⁣
(
W
n
=
0
)
+
p
⁢
(
B change
)
⋅
p
⁣
(
W
n
=
1
)
+
p
⁢
(
A change
)
⋅
p
⁣
(
W
n
=
2
)
+
p
⁢
(
Les deux changent
)
⋅
p
⁣
(
W
n
=
3
)
=
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
0
)
+
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
1
)
+
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
2
)
+
0
⋅
p
⁣
(
W
n
=
3
)
et on trouve de la même façon,
p
⁣
(
W
n
+
1
=
1
)
=
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
0
)
+
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
1
)
+
0
⋅
p
⁣
(
W
n
=
2
)
+
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
3
)
p
⁣
(
W
n
+
1
=
2
)
=
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
0
)
+
0
⋅
p
⁣
(
W
n
=
1
)
+
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
2
)
+
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
3
)
p
⁣
(
W
n
+
1
=
3
)
=
0
⋅
p
⁣
(
W
n
=
0
)
+
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
1
)
+
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
2
)
+
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
3
)
soit sous forme matricielle:
(
p
⁣
(
W
n
+
1
=
0
)
p
⁣
(
W
n
+
1
=
1
)
p
⁣
(
W
n
+
1
=
2
)
p
⁣
(
W
n
+
1
=
3
)
)
=
(
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
0
)
+
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
1
)
+
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
2
)
+
0
⋅
p
⁣
(
W
n
=
3
)
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
0
)
+
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
1
)
+
0
⋅
p
⁣
(
W
n
=
2
)
+
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
3
)
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
0
)
+
0
⋅
p
⁣
(
W
n
=
1
)
+
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
2
)
+
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
3
)
0
⋅
p
⁣
(
W
n
=
0
)
+
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
1
)
+
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
2
)
+
1
3
⋅
p
⁣
(
W
n
=
3
)
)
=
1
3
⁢
(
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
)
⁢
(
p
⁣
(
W
n
=
0
)
p
⁣
(
W
n
=
1
)
p
⁣
(
W
n
=
2
)
p
⁣
(
W
n
=
3
)
)
donc
R
=
1
3
⁢
(
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
)
et
R
=
1
3
⁢
(
U
−
V
)
avec
U
et
V
les matrices ci-dessous.
-
-
On touve
U
2
=
4
⁢
U
d'où par récurrence, pour tout entier
n
≥
1
,
U
n
=
4
n
−
1
⁢
U
et
U
0
=
I
.
On trouve
V
2
=
I
d'où (sans récurrence), si
n
est pair,
V
n
=
(
V
2
)
n
/
2
=
I
et si
n
est impair,
V
n
=
V
.
-
On a
V
.
U
=
U
=
U
⋅
V
,
donc d'après la formule du binôme,
(
U
−
V
)
n
=
∑
k
=
0
n
C
n
k
⁢
U
n
−
k
⁢
(
−
V
)
k
=
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
⁢
C
n
k
⁢
U
n
−
k
⁢
V
k
-
On pourrait (sans déduire) démontreer le résultat par
récurrence.
(
U
−
V
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
⁢
C
n
k
⁢
U
n
−
k
⁢
V
k
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
−
1
)
k
⁢
C
n
k
⁢
U
n
−
k
⁢
V
k
+
(
−
1
)
n
⁢
C
n
n
⁢
U
0
⁢
V
n
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
−
1
)
k
⁢
C
n
k
⁢
4
n
−
k
−
1
⁢
U
⋅
V
k
+
(
−
1
)
n
⁢
V
n
et comme
V
k
=
V
ou
I
et
U
⋅
V
=
U
et
U
⋅
I
=
U
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
−
1
)
k
⁢
C
n
k
⁢
4
n
−
k
−
1
⁢
U
+
(
−
1
)
n
⁢
V
n
=
1
4
⁢
(
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
⁢
C
n
k
⁢
4
n
−
k
−
(
−
1
)
n
⁢
C
n
n
⁢
4
0
)
⁢
U
+
(
−
1
)
n
⁢
V
n
=
1
4
⁢
(
(
−
1
+
4
)
n
−
(
−
1
)
n
)
⁢
U
+
(
−
1
)
n
⁢
V
n
et on touve bien
(
U
−
V
)
n
=
1
4
⁢
[
3
n
−
(
−
1
)
n
]
⁢
U
+
(
−
1
)
n
⁢
V
n
(qui est aussi valable pour
n
=
0
)
-
On a donc pour
n
pair,
(
U
−
V
)
n
=
1
4
⁢
(
3
n
−
1
)
⁢
U
+
I
et pour
n
impair,
(
U
−
V
)
n
=
1
4
⁢
[
3
n
+
1
]
⁢
U
−
V
.
Comme
R
n
=
(
1
3
)
n
⁢
(
U
−
V
)
n
, on a pour n pair:
(
p
⁣
(
W
n
=
0
)
p
⁣
(
W
n
=
1
)
p
⁣
(
W
n
=
2
)
p
⁣
(
W
n
=
3
)
)
=
(
1
3
)
n
⁢
(
1
4
⁢
(
3
n
−
1
)
⁢
U
+
I
)
⁢
(
1
0
0
0
)
=
1
4
⁢
(
1
3
)
n
⁢
(
3
n
+
3
3
n
−
1
3
n
−
1
3
n
−
1
)
et si n est impair
(
p
⁣
(
W
n
=
0
)
p
⁣
(
W
n
=
1
)
p
⁣
(
W
n
=
2
)
p
⁣
(
W
n
=
3
)
)
=
(
1
3
)
n
⁢
(
1
4
⁢
(
3
n
+
1
)
⁢
U
−
V
)
⁢
(
1
0
0
0
)
=
1
4
⁢
(
1
3
)
n
⁢
(
3
n
+
1
3
n
+
1
3
n
+
1
3
n
−
3
)
-
On a
C
⁢
o
⁢
v
⁡
(
X
n
,
Y
n
)
=
E
⁡
(
X
n
⁢
Y
n
)
−
E
⁡
(
X
n
)
⁢
E
⁡
(
Y
n
)
On connait la loi de
X
n
. Celle de
Y
n
est la même. Et celle du couple est déduite de ci dessus.
E
⁡
(
X
n
)
=
0
⋅
p
⁡
(
X
n
)
+
1
⋅
p
⁡
(
X
n
)
=
1
2
⁢
(
−
(
1
3
)
n
+
1
)
=
E
⁡
(
Y
n
)
p
⁣
(
X
n
⁢
Y
n
=
1
)
=
p
⁣
(
X
n
=
1
∩
Y
n
=
1
)
=
p
⁣
(
W
n
=
3
)
=
1
4
⁢
(
1
3
)
n
⁢
(
3
n
−
3
)
=
1
4
⁢
(
1
−
1
/
3
n
−
1
)
E
⁡
(
X
n
⁢
Y
n
)
=
0
+
1
⋅
p
⁣
(
X
n
⁢
Y
n
=
1
)
=
1
4
⁢
(
1
−
1
/
3
n
−
1
)
.
Donc
C
⁢
o
⁢
v
⁡
(
X
n
,
Y
n
)
=
1
4
⁢
(
1
−
1
/
3
n
−
1
)
−
1
4
⁢
(
−
(
1
3
)
n
+
1
)
2
=
:
−
1
4
⁢
3
−
n
−
1
4
⁢
3
−
2
⁢
n
→
n
→
+
∞
0