(D'après CCIP 2000)

On dispose de deux jetons A et B que l'on peut placer dans deux cases C 0 et C 1 , et d'un dispositif permettant de tirer au hasard et de manière équiprobable, l'une des lettre a , b ou c . Au début de l'expérience, les deux jetons sont placés dans C 0 . On procède alors à une série de tirages indépendants de l'une des trois lettres a , b ou c .

A la suite de chaque tirage, on effectue l'opération suivante:

On suppose qu'il existe un espaceprobabilisé dont la probabilité est notée p , qui modélise cette expérience et que l'on définit deux suites de variables aléatoires sur cet espace, ( X n ) n 0 et ( Y n ) n 0 , décrivant les positions respactives de A et B , en posant:

X 0 = Y 0 = 0 , et pour tout entier naturel n non nul, X n = 0 si à l'issue de la n i e ` m e opération, le jeton A se trouve dans C 0 et X n = 1 s'il setrouve dans C 1 ; de même, Y n = 0 si à l'issue de la n i e ` m e opération, le jeton B se trouve dans C 0 et Y n = 1 s'il setrouve dans C 1 .

I Simulation

Ecrire un programme en Turbo-Pascal permettant de simuler l'expérience, qui lira un entier N entré au clavier, représentant le nombre de tirages à effectuer, et qui affichera à l'écran la liste des couples observés ( X n , Y n ) pour 1 n N .

Ce programme utilisera la fonction RANDOM qui renvoie, pour un argument m de type INTEGER, un nombre entier de l'intervalle [ 0 , m 1 ] , tiré au hasard et de manière équiprobable.

(Cette fonction doit être initialisé par la commande RANDOMIZE)



II Simulation

    1. Soit n un entier strictement positif. Déterminer la probabilité que, à l'issue de la n i e ` m e opération, le jeton A n'ait jamais quitté C 0 .

    2. Quelle est la proabilité que le jeton A reste indéfiniment dans C 0 ?

  1. Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, on s'interresse à l'événement D k : à l'issue de la k i e ` m e opération, le jeton A revient pour la première fois dans C 0 . Déterminer la probabilité p ( D k ) .

  2. Soient les matrices : M = ( 2 1 1 2 ) P = ( 1 1 1 1 ) D = ( 1 0 0 3 ) .

    1. Vérifier que M P = P . D et montrer que P est inversible.

    2. En déduire l'expression de M n , pour tout entier n strictement positif.

    1. Calculer les probabilités p ( X 1 = 0 ) et p ( X 1 = 1 ) .

    2. Déterminer une matrice Q telle que, pour tout entier naturel n , on ait l'égalité matricielle: ( p ( X n + 1 = 0 ) p ( X n + 1 = 1 ) ) = Q ( p ( X n = 0 ) p ( X n = 1 ) )

    3. Pour tout entier naturel n non nul, calculer la matrice Q n et en déduire la loi de la variable X n .

III Etude d'un mouvement du couple de jetons ( A , B )

On suppose que l'on définit sur le même espace probabilisé une suite de variables aléatoires ( W n ) n 0 , à valeurs dans { 0 , 1 , 2 , 3 } , décrivant les positions des dexu jetons A et B , en posant:

W 0 = 0 , et pour tout entier naturel n non nul,

W n = 0 , si à l'issue de la n i e ` m e opération, A et B se trouvent tous les deux dans C 0 ,

W n = 1 , si à l'issue de la n i e ` m e opération, A se trouve dans C 0 , et B dans C 1 ,

W n = 2 , si à l'issue de la n i e ` m e opération, A se trouve dans C 1 , et B dans C 0 ,

W n = 3 , si à l'issue de la n i e ` m e opération, les deux jetons A et B se trouvent dans C 1 .

  1. Calculer la probabilité p ( W 1 = i ) pour i égal à 0, 1, 2 et 3.

  2. Déterminer la matrice R telle que, pour tout entier naturel n , on ait l'égalité matricielle: ( p ( W n + 1 = 0 ) p ( W n + 1 = 1 ) p ( W n + 1 = 2 ) p ( W n + 1 = 3 ) ) = R ( p ( W n = 0 ) p ( W n = 1 ) p ( W n = 2 ) p ( W n = 3 ) )

  3. On considère les matrices:

    I = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ) , U = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) , V = ( 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 )

    1. Pour tout entier naturel n non nul, calculer U n et V n .

    2. Etablir, pour tout entier naturel non nul n , l'égalité ( U V ) n = k = 0 n ( 1 ) k C n k U n k V k

      où par convention on pose: U 0 = V 0 = I .

    3. En déduire, pour tout entier naturel non nul n , l'égalité ( U V ) n = 1 4 [ 3 n ( 1 ) n ] U + ( 1 ) n V n

  4. Pour tout entier naturel n non nul, calculer R n e t donner la loi de la variable W n . (on distinguera les cas n pair et n impair)

  5. Déterminer, pour tout entier naturel n non nul, la covariance de X n et Y n et calculer la limite de cette covariance quand n tend vers + .

(D'après CCIP 2000)