Corrigé ECRICOME 2001 par Pierre Veuillez

Première partie

  1. on a:

    M ( a ) . M ( b ) = ( 1 2 a a a a 1 2 a a a a 1 2 a ) ( 1 2 b b b b 1 2 b b b b 1 2 b ) = ( 1 2 b 2 a + 4 a b + 2 b a + b 3 a b a + b 3 a b a 2 a b + b 2 b a + a b 1 2 ( a + b 3 a b ) a + b 3 a b a b + a 2 a b + b 2 b a a + b 3 a b 1 2 ( a + b 3 a b ) ) = M ( a + b 3 a b )

    Onpeut donc calculer le produit de deux matrices de ce type juste avec leurs paramètres.

  2. On cherche l'inverse de M ( a ) sous lla forme de M ( b ) . Comme M ( 0 ) = I , il suffit d'avoir M ( a ) M ( b ) = M ( 0 ) donc a + b 3 a b = 0 b ( 1 3 a ) = a b = a / ( 1 3 a ) si  a 1 / 3 Donc si a 1 / 3 on a b = a / ( 1 3 a ) qui est solution. Donc avec cette valeur de b , M ( a ) M ( b ) = M ( 0 ) = I et M ( b ) M ( a ) = I donc M ( a ) est inversible et son ibnverse est : M ( a ) 1 = M ( a / ( 1 3 a ) )

    M ( 1 / 3 ) 2 = M ( 1 / 3 ) M ( 1 / 3 ) = M ( 1 / 3 + 1 / 3 1 / 3 ) = M ( 1 / 3 )

    Or si M ( 1 / 3 ) est inversible alors elle a une inverse B et B M ( 1 / 3 ) 2 = ( B M ( 1 / 3 ) ) M ( 1 / 3 ) = M ( 1 / 3 )

    et B M ( 1 / 3 ) 2 = B M ( 1 / 3 ) = I donc M ( 1 / 3 ) = I ; Or M ( 1 / 3 ) I

    Donc M ( 1 / 3 ) n'est pas inversible.

  3. a 0 = 1 / 3 est une solution de [ M ( a 0 ) ] 2 = M ( a 0 )

    Est-ce la seule?

    [ M ( x ) ] 2 = M ( x ) M ( 2 x 3 x 2 ) = M ( x ) 2 x 3 x 2 = x x 3 x 2 = 0   polynôme x = 0  ou  x = 1 / 3

    Donc c'est bien la seule solution non nulle.

  4. On considère les matrices : P = M ( a 0 ) et Q = I P On a donc P 2 = P

    et P = ( 1 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 ) = 1 3 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) et Q = 1 3 ( 2 1 1 1 2 1 1 1 2 )

    1. On a M ( a ) = ( 1 2 a a a a 1 2 a a a a 1 2 a ) et

      P + α Q = 1 3 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) + α 3 ( 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ) = 1 3 ( 1 + 2 α 1 α 1 α 1 α 1 + 2 α 1 α 1 α 1 α 1 + 2 α )

      Donc M ( a ) = P + α Q { 1 + 2 α = 3 ( 1 2 a ) 1 α = 3 a { 2 α = 2 6 a α = 1 3 a α = 1 3 a

      Donc α = 1 3 a convient (et c'est le seul) pour : M ( a ) = P + α Q

    2. P 2 = P d'après la définition de P

      Q P = ( I P ) P = P P 2 = P P = 0

      P Q = P ( I P ) = P P 2 = 0

      Q 2 = ( I P ) 2 = I P P + P 2 = I 2 P + P = I P = Q

    3. On procède par récurrence:

      Pour n = 1 , [ M ( a ) ] 1 = M ( a ) = P + α Q donc x 1 = 1 et y 1 = α conviennent

      (celà était déjà vrai pour n = 0 mais l'énnoncé ne le demandait qu'à partir de 0 )

      Soit n 1 tel qu'il existe x n et y n réels tels que [ M ( a ) ] n = x n P + y n Q alors

      [ M ( a ) ] n + 1 = ( x n P + y n Q ) ( P + α Q ) = x n P 2 + y n Q P + α x n P Q + α y n Q 2 = x n P + α y n Q

      Donc avec x n + 1 = x n et y n + 1 = α y n qui sont bien des réels, on a [ M ( a ) ] n + 1 = x n + 1 P + y n + 1 Q

    4. La suite x est constante donc égale à x 1 = 1 et y est géométrique de raison α donc y n = α n 1 y 1 = α n

      donc pour tout entier n 1 , [ M ( a ) ] n = P + α n Q

    5. Variante:On pouvait aussi utiliser:

      Pour tout entier n 0 , P n = P et Q n = Q

      Et comme M ( a ) = P + α Q , on a P Q = Q P donc d'après la formule du binôme, on a pour tout entier n : [ M ( a ) ] n = [ P + α Q ] n = k = 0 n C n k P k α n k Q n k

      Et pour k 1 P k = P et pour n k 1 (i.e. k n 1 ) Q n k = Q donc [ M ( a ) ] n = C n 0 P 0 α n Q n + C n n P n Q 0 + k = 1 n 1 C n k α n k P Q = α n Q n + P n + k = 1 n 1 0 = α n Q + P

    6. On a donc avec α = 1 3 a M ( a ) n = 1 3 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) + α n 3 ( 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ) = 1 3 ( 1 + 2 α n 1 α n 1 α n 1 α n 1 + 2 α n 1 α n 1 α n 1 α n 1 + 2 α n ) :

Deuxième partie

Dans la suite de l'exercice, on suppose que a ] 0 , 2 3 [ .

  1. On définit des suites ( p n ) n * , ( q n ) n * , ( r n ) n * par leur premier terme p 1 , q 1 , r 1 , et les relations de récurrence :

    1. Comme ( p n + 1 q n + 1 r n + 1 ) = M ( a ) ( p n q n r n ) on a alors pour tout entier n ,

      ( p n q n r n ) = [ M ( a ) ] n 1 ( p 1 q 1 r 1 ) = [ α n 1 Q + P ] ( p 1 q 1 r 1 )

    2. On a α = 1 3 a et comme 0 < a < 2 / 3 alors 0 > 3 a > 2 et 1 > 1 3 a > 1 < donc | α | < 1 donc α n n + 0

      Donc ( p n q n r n ) n + P ( p 1 q 1 r 1 ) = 1 3 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( p 1 q 1 r 1 ) = 1 3 ( p 1 + q 1 + r 1 ) ( 1 1 1 )

    1. ( M n , S n , B n ) formant un système complet d'événements donc p ( M n + 1 ) = p ( M n + 1 / M n ) p ( M n ) + p ( M n + 1 / S n ) p ( S n ) + p ( M n + 1 / B n ) p ( B n ) = 2 3 p ( M n ) + 1 6 p ( S n ) + 1 6 p ( B n )

      et de la même façon p ( S n + 1 ) = 1 6 p ( M n ) + 2 3 p ( S n ) + 1 6 p ( B n ) p ( B n + 1 ) = 1 6 p ( M n ) + 1 6 p ( S n ) + 2 3 p ( B n )

    2. On rretrouve les relations de récurrence précédentes avec p n = p ( M n ) , q n = p ( S n ) et r n = p ( B n ) et a = 1 / 6 ] 0 , 2 / 3 [ et α = 1 3 / 6 = 1 / 2 ( p ( M n ) p ( S n ) p ( B n ) ) = ( 1 2 n 1 Q + P ) ( 0 1 0 ) = 1 2 n 1 Q ( 0 1 0 ) + P ( 0 1 0 ) = 1 3 2 n 1 ( 1 2 1 ) + 1 3 ( 1 1 1 ) = 1 3 ( 1 1 / 2 n 1 1 + 2 / 2 n 1 1 1 / 2 n 1 )

      donc p ( M n ) = p ( B n ) = 1 3 ( 1 1 2 n 1 ) et p ( S n ) = 1 3 ( 1 1 2 n 1 )

    3. Et quand n tend vers + ces troisa probabilités tendent vers 1/3

(D'après ECRICOME 2001)