D'après ECRICOME 2001
Première partie
Le but de la première partie est de calculer les puissances successives de la matrice:



M(a)=( 1-2aaa a1-2aa aa1-2a )

a représente un nombre réel.
  1. Montrer que, pour tous réels a, b, on a : M(a).M(b)=M(a+b-3ab).
  2. Montrer que si a1/3 il existe alors un réel b tel que a+b-3ab=0. En déduire que si a1/3 alors la matrice M(a) est inversible.
    Calculer M (1/3)2 et en déduire que M(1/3) n'est pa sinversible.
  3. Déterminer le réel a0 non nul, tel que :
    [M( a0 )]2 =M( a0 )

  4. On considère les matrices :
    P=M( a0 )    et    Q=I-P

    I désigne la matrice unité d'ordre 3.
    1. Montrer que pour tout a, il existe un réel α -que l'on exprimera en fonction de a- tel que :
      M(a)=P+αQ

    2. Calculer P2 , QP, PQ, Q2 .
    3. Pour tout entier naturel n, non nul, montrer que [M(a)]n s'écrit xn P+ yn Q avec xn et yn des réels.(on appelle celà une combinaison linéaire)
    4. Expliciter alors la matrice [M(a)]n .
Deuxième partie
Évolution d'un titre boursier au cours du temps.


Dans la suite de l'exercice, on suppose que a]0, 2 3 [.
  1. On définit des suites ( pn )n * , ( qn )n * , ( rn )n * par leur premier terme p1 , q1 , r1 , et les relations de récurrence :

    { pn+1 =(1-2a) pn + aqn + arn qn+1 = apn +(1-2a) qn + arn rn+1 = apn + aqn +(1-2a) rn

    1. Exprimer pn , qn , rn en fonction de n, p1 , q1 , r1 .
    2. Étudier la convergence de ces suites.
  2. Dans une bourse de valeurs, un titre donné peut monter, rester stable, ou baisser. Dans un modèle mathématique, on considère que :
    On note Mn (respectivement Sn , respectivement Bn ) l'événement "le titre donné monte (respectivement reste stable, respectivement baisse) le jour n".
    1. Exprimer les probabilités de hausse, de stabilité, et de baisse au jour n+1 en fonction de ces mêmes probabilités au jour n.
    2. En déduire les probabilités de hausse, de stabilité, et de baisse au jour n.
    3. Quelles sont les limites de ces probabilités lorsque n tend vers l'infini ?
(D'après ECRICOME 2001)



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On 18 May 2004, 00:02.