Corrigé EML 2002 par Pierre Veuillez

Partie 1 : Relations entre matrices.

    1. P 2 = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) = ( 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 ) = 4 I

      On a donc P ( 1 4 P ) = I et ( 1 4 P ) P = I donc P est inversible et la valeur de P 1 = 1 4 . P

    2. On calcule les produits : P 1 J P = 1 4 P ( 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) = 1 4 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 ) = ( 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) = D 1

      P 1 K P = 1 4 P ( 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) = 1 4 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) = D 2 sont bien diagonales.

    3. On a donc P 1 J P = D 1 et J = P D 1 P 1 et K = P D 2 P 1 donc

      α J + β K = α P D 1 P 1 + β P D 2 P 1 = P ( α D 1 + β D 2 ) P 1 et D ( α , β ) = α D 1 + β D 2 est bien diagonale.




Partie 2 : étude d'un mouvement aléatoire.

    1. Il faut déterminer les cotés adjacents et ceux opposés pour avoir P ( X n + 1 = i / X n = j ) :

      1 --- 2
      \ \
      4 --- 3
      et A = ( 0 p 1 2 p p p 0 p 1 2 p 1 2 p p 0 p p 1 2 p p 0 )

    2. et A = p ( 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 ) + ( 1 2 p ) ( 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ) = p J + ( 1 2 p ) K

    1. On a ( X n = 1 , X n = 2 , X n = 3 , X n = 4 ) qui forme un système complet d'événements donc

      p ( X n + 1 = 1 ) = p ( X n + 1 = 1 / X n = 1 ) p ( X n = 1 ) + p ( X n + 1 = 1 / X n = 2 ) p ( X n = 2 ) + p ( X n + 1 = 1 / X n = 3 ) p ( X n = 3 ) + p ( X n + 1 = 1 / X n = 4 ) p ( X n = 4 ) = 0 p ( X n = 1 ) + p p ( X n = 2 ) + ( 1 2 p ) p ( X n = 3 ) + p p ( X n = 4 )

      ce qui est bien le produit de la première ligne de A et de la colonne C n

      De mêm pour les trois autres lignes. Donc C n + 1 = A C n .

    2. Donc la suite C est géométrique matricielle et C n = A n C 0 = [ p J + ( 1 2 p ) K ] n C 0 = P ( D ( p , 1 2 p ) ) P 1 C 0 = 1 4 P D ( p , 1 2 p ) P C 0 On a D ( p , 1 2 p ) = p D 1 ( 1 2 p ) D 2 = p ( 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) + ( 1 2 p ) ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) = ( 1 0 0 0 0 4 p + 1 0 0 0 0 1 + 2 p 0 0 0 0 1 + 2 p ) Comme le point est en 1 à l'instant 0 on a donc :

      C n = 1 4 P D ( p , 1 2 p ) n ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( 1 0 0 0 ) = 1 4 P ( 1 0 0 0 0 ( 1 4 p ) n 0 0 0 0 ( 2 p 1 ) n 0 0 0 0 ( 2 p 1 ) n ) ( 1 1 1 1 ) = 1 4 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( 1 ( 1 4 p ) n ( 2 p 1 ) n ( 2 p 1 ) n ) = 1 4 ( 1 + ( 1 4 p ) n + 2 ( 2 p 1 ) n 1 ( 1 4 p ) n 1 + ( 1 4 p ) n 2 ( 2 p 1 ) n 1 ( 1 4 p ) n ) Et on a finalement p ( X n = 1 ) = 1 4 [ 1 + ( 1 4 p ) n + 2 ( 2 p 1 ) n ] p ( X n = 2 ) = 1 4 [ 1 ( 1 4 p ) n ] p ( X n = 3 ) = 1 4 [ 1 + ( 1 4 p ) n 2 ( 2 p 1 ) n ] p ( X n = 4 ) = 1 4 [ 1 ( 1 4 p ) n ]

(D'après EDHEC 2002 )