(D'après EML 2002 )

Partie 1 : Relations entre matrices.
On considère les matrices suivantes de 4 ( ) : J = ( 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 ) , K = ( 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ) , P = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) : :

    1. Calculer P 2 puis en déduire que P est inversible et la valeur de P 1 .

    2. Montrer que P 1 J P et P 1 K P sont diagonales.

    3. En déduire une matrice D ( α , β ) diagonale telle que α J + β K = P D ( α , β ) P 1




Partie 2 : étude d'un mouvement aléatoire.
Dans cette partie, p désigne un réel de [ 0 , 1 [ .
Les sommets d'un carré sont numérotés 1, 2, 3 et 4 de telle façon que les côtés du carré relient le sommet 1 au sommet 2, le sommet 2 au sommet 3, le sommet 3 au sommet 4, le sommet 4 au sommet 1, les diagonales reliant le sommet 1 au sommet 3 ainsi que le sommet 2 au sommet 4.
Un pion se déplace sur les sommets du carré selon le protocole suivant :

On note X n la variable aléatoire égale au numéro du sommet sur lequel se trouve le pion à l'instant n . On a donc X 0 = 1 .

    1. Ecrire la matrice A , carrée d'ordre 4, dont le terme situé à l'intersection de la i e ` m e ligne et de la j e ` m e colonne est égal à la probabilité conditionnelle P ( X n + 1 = i / X n = j ) .

    2. Vérifier que A s'écrit comme combinaison linéaire de J et K . (i.e qu'il existe des réels α et β telq que A = α J + β K )

  1. Pour tout entier n de , on pose C n = ( P ( X n = 1 ) P ( X n = 2 ) P ( X n = 3 ) P ( X n = 4 ) ) .

    1. Montrer, à l'aide de la formule des probabilités totales, que C n + 1 = A C n .

    2. En déduire que C n = 1 4 P D ( p , 1 2 p ) n P C 0 , où D ( p , 1 2 p ) est la matrice trouvée au d puis donner la loi de probabilité de X n pour tout entier naturel n 1 .

(D'après EDHEC 2002 )