Corrigé ECRICOME 93
par Pierre Veuillez
Comme utliser les porduits
X
,
Y
ou
Z
le
n
i
è
me
mois forme un système complet d'événements alors
p
(
X
n
+
1
)
=
p
(
X
n
+
1
/
X
n
)
p
(
X
n
)
+
p
(
X
n
+
1
/
Y
n
)
p
(
Y
n
)
+
p
(
X
n
+
1
/
Z
n
)
p
(
Z
n
)
=
0
,
4
p
(
X
n
)
+
0
,
3
p
(
Y
n
)
+
0
,
2
p
(
Z
n
)
donc
x
n
+
1
=
0
,
4
x
n
+
0
,
3
y
n
+
0
,
2
z
n
et de même
y
n
+
1
=
0
,
3
x
n
+
0
,
4
y
n
+
0
,
1
z
n
et
z
n
+
1
=
0
,
3
x
n
+
0
,
3
y
n
+
0
,
7
z
n
On considère les matrices
A
=
(
0
,
2
0
,
1
0
,
2
0
,
3
)
,
U
n
=
(
x
n
y
n
)
et
B
=
(
0
,
2
0
,
1
)
.
Comme les choix de
X
,
Y
et
Z
sont exclusifs, on a
p
(
X
n
)
+
p
(
Y
n
)
+
p
(
Z
n
)
=
1
donc
z
n
=
1
-
x
n
-
y
n
Donc
x
n
+
1
=
0
,
4
x
n
+
0
,
3
y
n
+
0
,
2
(
1
-
x
n
-
y
n
)
=
0
,
2
+
0
,
2
x
n
+
0
,
1
y
n
et
y
n
+
1
=
0
,
3
x
n
+
0
,
4
y
n
+
0
,
1
(
1
-
x
n
-
y
n
)
=
0
,
1
+
0
,
2
x
n
+
0
,
3
y
n
D'où
(
x
n
+
1
y
n
+
1
)
=
(
0
,
2
+
0
,
2
x
n
+
0
,
1
y
n
0
,
1
+
0
,
2
x
n
+
0
,
3
y
n
)
=
(
0
,
2
0
,
1
)
+
(
0
,
2
x
n
+
0
,
1
y
n
0
,
2
x
n
+
0
,
3
y
n
)
=
(
0
,
2
0
,
1
)
+
(
0
,
2
0
,
1
0
,
2
0
,
3
)
(
x
n
y
n
)
et pour tout entier
n
:
U
n
+
1
=
A
.
U
n
+
B
On cherche la colonne
C
par ses composantes :
C
=
(
x
y
)
C
=
A
.
C
+
B
⟺
(
I
-
A
)
C
=
B
⟺
(
0
,
8
-
0
,
1
-
0
,
2
0
,
7
)
(
x
y
)
=
(
0
,
2
0
,
1
)
⟺
{
8
x
-
y
=
2
L
1
+
4
L
2
-
2
x
+
7
y
=
1
⟺
{
27
y
=
6
-
2
x
+
7
y
=
1
⟺
{
y
=
2
/
9
x
=
5
/
18
Donc la colonne
C
=
1
18
(
5
4
)
convient (et c'est la seule)
On considère la matrice
V
n
=
U
n
-
C
.
On a
V
n
+
1
=
U
n
+
1
-
C
=
AU
n
+
B
-
(
AC
+
B
)
=
AU
n
-
AC
=
A
(
U
n
-
C
)
=
AV
n
Donc la suite
V
est géométrique matricielle de raison
A
et
V
n
=
A
n
V
0
On applique la méthode de Gauss :
(
1
1
-
1
2
1
0
0
1
)
L
1
L
1
+
L
2
⟺
(
1
1
0
3
1
0
1
1
)
L
1
-
L
2
/
3
L
2
/
3
⟺
(
1
0
0
1
2
/
3
-
1
/
3
1
/
3
1
/
3
)
Donc
P
est inversible et
P
-
1
=
1
3
(
2
-
1
1
1
)
On a
D
=
P
-
1
·
A
·
P
=
1
30
(
2
-
1
1
1
)
(
2
1
2
3
)
(
1
1
-
1
2
)
=
1
30
(
3
0
0
12
)
donc
D
=
\dfrac
1
10
(
1
0
0
4
)
On a donc
A
=
PDP
-
1
et
A
n
=
PD
n
P
-
1
Comme
D
est diagonale,
D
n
=
1
10
n
(
1
0
0
4
n
)
et
A
n
=
1
3
·
10
n
(
1
1
-
1
2
)
(
1
0
0
4
n
)
(
2
-
1
1
1
)
=
1
3
·
10
n
(
2
+
4
n
-
1
+
4
n
-
2
+
2
×
4
n
1
+
2
×
4
n
)
On a alors
(
x
n
y
n
)
=
U
n
=
V
n
+
C
=
A
n
V
0
+
C
avec
V
0
=
U
0
-
C
=
1
10
(
1
2
)
-
1
18
(
5
4
)
=
-
1
45
(
8
1
)
on obtient :
(
x
n
y
n
)
=
-
\dfrac
1
45
\dfrac
1
3
·
10
n
(
2
+
4
n
-
1
+
4
n
-
2
+
2
×
4
n
1
+
2
×
4
n
)
(
8
1
)
+
\dfrac
1
18
(
5
4
)
d'où
x
n
=
-
1
45
5
+
3
×
4
n
10
n
+
5
18
et
y
n
=
1
45
-
5
+
6
×
4
n
10
n
+
2
9
enfin
z
n
=
1
-
x
n
-
y
n
=
1
2
+
1
45
5
+
3
×
4
n
10
n
-
1
45
-
5
+
6
×
4
n
10
n
Et quand
n
tend vers
+
∞
(à long terme) on a
x
n
→
5
/
18
:
y
n
→
2
/
9
et
z
n
→
1
/
2
(ECRICOME 93)
File translated from T
E
X by
T
T
M
, version 3.59.
On 18 May 2004, 00:02.