Corrigé ECRICOME 93 par Pierre Veuillez
  1. Comme utliser les porduits X, Y ou Z le nième mois forme un système complet d'événements alors

    p( Xn+1 ) = p( Xn+1 / Xn )p( Xn )+p( Xn+1 / Yn )p( Yn ) +p( Xn+1 / Zn )p( Zn ) = 0,4p( Xn )+0,3p( Yn )+0,2p( Zn )

    donc xn+1 =0,4 xn +0,3 yn +0,2 zn et de même yn+1 =0,3 xn +0,4 yn +0,1 zn et zn+1 =0,3 xn +0,3 yn +0,7 zn
  2. On considère les matrices A=( 0,20,1 0,20,3 ), Un =( xn yn ) et B=( 0,2 0,1 ).
    Comme les choix de X, Y et Z sont exclusifs, on a p( Xn )+p( Yn )+p( Zn )=1 donc zn =1- xn - yn
    Donc xn+1 =0,4 xn +0,3 yn +0,2(1- xn - yn )=0,2+0,2 xn +0,1 yn
    et yn+1 =0,3 xn +0,4 yn +0,1(1- xn - yn )=0,1+0,2 xn +0,3 yn
    D'où
    ( xn+1 yn+1 ) = ( 0,2+0,2 xn +0,1 yn 0,1+0,2 xn +0,3 yn )=( 0,2 0,1 )+( 0,2 xn +0,1 yn 0,2 xn +0,3 yn ) = ( 0,2 0,1 )+( 0,20,1 0,20,3 )( xn yn )

    et pour tout entier n:       Un+1 =A. Un +B
  3. On cherche la colonne C par ses composantes : C=( x y )
    C=A.C+B(I-A)C=B( 0,8-0,1 -0,20,7 )( x y )=( 0,2 0,1 )
    { 8x-y=2L1+4L2 -2x+7y=1 { 27y=6 -2x+7y=1 { y=2/9 x=5/18
    Donc la colonne C= 1 18 ( 5 4 ) convient (et c'est la seule)
  4. On considère la matrice Vn = Un -C.
    On a Vn+1 = Un+1 -C= AUn +B-(AC+B)= AUn -AC=A( Un -C)= AVn
    Donc la suite V est géométrique matricielle de raison A et Vn = An V0
    1. On applique la méthode de Gauss :
      ( 11 -12 10 01 ) L1 L1 + L2 ( 11 03 10 11 ) L1 - L2 /3 L2 /3 ( 10 01 2/3-1/3 1/31/3 )
      Donc P est inversible et P-1 = 1 3 ( 2-1 11 )
    2. On a D= P-1 ·A·P= 1 30 ( 2-1 11 )( 21 23 )( 11 -12 )= 1 30 ( 30 012 )
      donc D=\dfrac110( 10 04 )
    3. On a donc A= PDP-1 et An = PDn P-1
      Comme D est diagonale, Dn = 1 10n ( 10 0 4n ) et
      An = 1 3· 10n ( 11 -12 )( 10 0 4n )( 2-1 11 ) = 1 3· 10n ( 2+ 4n -1+ 4n -2+2× 4n 1+2× 4n )

    1. On a alors ( xn yn )= Un = Vn +C= An V0 +C
      avec V0 = U0 -C= 1 10 ( 1 2 )- 1 18 ( 5 4 )=- 1 45 ( 8 1 ) on obtient :
      ( xn yn )=-\dfrac145\dfrac13· 10n ( 2+ 4n -1+ 4n -2+2× 4n 1+2× 4n )( 8 1 )+\dfrac118( 5 4 )
      d'où xn =- 1 45 5+3× 4n 10n + 5 18 et yn = 1 45 -5+6× 4n 10n + 2 9
    2. enfin zn =1- xn - yn = 1 2 + 1 45 5+3× 4n 10n - 1 45 -5+6× 4n 10n
    3. Et quand n tend vers + (à long terme) on a xn 5/18: yn 2/9 et zn 1/2
(ECRICOME 93)



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On 18 May 2004, 00:02.