(ECRICOME 93)
Les produits référencés X,  Y et Z se partagent le marché. un consommateur n'utilisera qu'un seul de ces produits chaque mois. On note xn , yn et zn , la proababilité qu'il utilise les produits X,  Y et Z au nième mois, où n est un entier naturel.
On observe les données suivantes: x0 =0,1, y0 =0,2 et z0 =0,7.
Par ailleurs des sondages ont permis de déterminer les intentions des consommateurs supposées constantes :
  1. Exprimer xn+1 ,   yn+1 et zn+1 en fonction de xn ,   yn et zn .
  2. On considère les matrices A=( 0,20,1 0,20,3 ), Un =( xn yn ) et B=( 0,2 0,1 ).
    Exprimer zn en fonction de yn et xn et en déduire que l'on a pour tout entier n:
    Un+1 =A. Un +B
  3. Déterminer une matrice colonne C telle que: C=A.C+B.
  4. On considère la matrice Vn = Un -C.
    Démontrer que pour tout entier n: Vn+1 =A. Vn puis en déduire Vn en fonction de V0 .
    1. Soit P=( 11 -12 ). Montrer que P est inversible et calculer P-1 .
    2. Calculer D= P-1 ·A·P;
    3. En déduire l'expression de An en fonction de n.
    1. En déduire les valeurs de xn et yn en fonction de n.
    2. En déduire zn en fonction de n.
    3. Quelle sont à long terme les probabilités d'utiliser les produits X,   et Z ?
(ECRICOME 93)



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On 18 May 2004, 00:02.