On considère une population d'environ 10 000 consommateurs, dont chacun
est susceptible d'acheter une voiture, soit de marque étrangère,
soit de marque française. Un organisme de sondage interroge 100
consommateurs pris au hasard : 30 se révèlent préfèrer une
marque étrangère (donc 70 une marque française). L'enquète
est publiée et influence parfaitement -cas d'école- la population
dont 30% penche maintenant pour une marque étrangère (70% pour une
marque française). Un nouveau sondage est effectué : un
échantillon de 100 consommateurs pris au hasard est interrogé, et le
résultat publié influence parfaitement la population qui s'aligne
sur les préférences de l'échantillon. On recommence le tirage au
hasard de 100 consommateurs, et ainsi de suite. Que se passe-t-il après
un grand nombre de sondages ?
L'énnoncé théorique ci-dessous propose un modèle
probabiliste pour répondre à cette question.
Définition. Soit une variable aléatoire
; on note
l'espérance de
si celle-ci existe.
On note
un entier supérieur ou égal à 2 et
un entier
de
?. On pose
et
Soit
une suite de variables
aléatoires définies sur un espace probabilisé
à valeurs dans
dont les
lois de probabilité sont définies de la manière suivante :
est la variable certaine égale à
suit la loi binômiale de paramètres
et
(Par
convention, on dit que la loi binômiale de paramètres
et
est
la loi de la variable aléatoire certaine égale à 0 et que la loi
binômiale de paramètres
et 1 est la loi de la variable
aléatoire certaine égale à
)
Pour tout entier
non nul et tout entier
de
tel que
la loi conditionnelle
de
sachant
est la loi binômiale de
paramètres
et
En d'autres termes :
Pour tout entier
non nul et tout entier
de
tel que
et pour tout
de
On a de plus l'hypothèse
pour tout entier
non
nul, pour tout
-uplet
de
tel que
pour tout entier
de
Cette hypothèse n'est utile qu'à la question 8. de la partie
2.
On définit la suite de variable aléatoires
par
L'énnoncé ci-dessous propose une étude des cas
et
les propriétés mises en évidence pâr cette étude peuvent
se généraliser à une valeur quelcconque de
Préléminaire
Dans l'exemple ci-dessus, en appelant
la taille de l'échantillon,
le nombre de consommateurs interrogés la première fois et
favorables à l'achat d'une marque étrangère,
le rang du
sondage, donner une interprétation de la variable
et justifier
par des arguments tirés du cours, l'utilisation de la loi binômiale.
Comment interprèter l'hypothèse
Partie 1
Dans cette partie, N=2.
On suppose que
Déterminer la loi de
Que peut-on dire de la suite
De même si
que peut-on dire de la suite
On suppose désormais, dans la suite de cette partie, que
Montrer que, pour tout entier
En déduire que pour tout entier
Montrer que la suite
converge en loi.
Quelle est la loi limite ?
Calculer
On définit la variable aléatoire
par :
si pour tout entier
alors
sinon,
où
est le plus petit entier
tel que
ou
Montrer que, pour tout entier
non nul,
Que vaut
Reconnaitre la loi de
et déterminer
Partie 2
Dans cette partie ,
Que dire de la suite
si
?
Si
?
On suppose désormais, dans la suite de cette partie que
Etant donné unentier
déterminer
en fonction des valeurs de
Déterminer de même
et
Pour tout entier
on pose
Vérifier que
où
Soit le vecteur ligne
Calculer
Montrer que
pour tout entier
En
déduire la valeur de
Soit le vecteur ligne
Calculer
Soit
un entier naturel. Montrer que
en déduire que
En déduire que pour tout entier
A l'aide de 3. et de 4.c, déterminer
pour tout entier
de
Montrer que la suite
converge en loi
. Quelle est la limite ?
Déterminer le premier entier
tel que
On pose
et
Monter que
et
sont colonnes propres de
Quelles sont les
valeurs propres associées ?
Déterminer une base de
formée de vecteurs
propres de
Quelles sont les valeurs propres associées ?
En déduire qu'il existe une matrice
inversible telle que
soit diagonale.
Calculer
pour tout entier
Monter que la loi de
est donéne par :
Retrouver le résultat du 4.e)
On définir la variable aléatoire
par :
si pour tout entier
,
et
alors
sinon,
où
ets le plus petit entier
tel que
ou
On pose pour tout entier
Montrer que pour tout entier
non nul,
Que vaut
?
Reconnaitre la loi de
et donner
Pour tout entier
non nul, on définit l'événement
On pose
pour tout entier
supérieur
ou égal à 2,
et pour tout entier
non nul,
Exprimer pour tout entier
non nul,
et
en
fonction de
En déduire les valeurs de
et
pour
tout entier
non ul.
Montrer que
En déduire
et la
limite de la suite
En déduire la probabilté qu'il existe un entier
vérifiant
(CCIP 1997 Maths II option Economique)
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