CCIP / 1997 / Option Eco / MATH II
On considère une population d'environ 10 000 consommateurs, dont chacun est susceptible d'acheter une voiture, soit de marque étrangère, soit de marque française. Un organisme de sondage interroge 100 consommateurs pris au hasard : 30 se révèlent préfèrer une marque étrangère (donc 70 une marque française). L'enquète est publiée et influence parfaitement -cas d'école- la population dont 30% penche maintenant pour une marque étrangère (70% pour une marque française). Un nouveau sondage est effectué : un échantillon de 100 consommateurs pris au hasard est interrogé, et le résultat publié influence parfaitement la population qui s'aligne sur les préférences de l'échantillon. On recommence le tirage au hasard de 100 consommateurs, et ainsi de suite. Que se passe-t-il après un grand nombre de sondages ?
L'énnoncé théorique ci-dessous propose un modèle probabiliste pour répondre à cette question.
Définition. Soit une variable aléatoire X ; on note E(X) l'espérance de X si celle-ci existe.
On note N un entier supérieur ou égal à 2 et k0 un entier de {0,,N}?. On pose p= k0 N et q=1-p
Soit ( Xn )n\BbbN une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé (Ω,A,p), à valeurs dans {0,,N}, dont les lois de probabilité sont définies de la manière suivante :
X0 est la variable certaine égale à k0
X1 suit la loi binômiale de paramètres N et p (Par convention, on dit que la loi binômiale de paramètres N et 0 est la loi de la variable aléatoire certaine égale à 0 et que la loi binômiale de paramètres N et 1 est la loi de la variable aléatoire certaine égale à N)
Pour tout entier n non nul et tout entier k de {0,,N} tel que p( Xn =k)0, la loi conditionnelle de Xn+1 sachant ( Xn =k) est la loi binômiale de paramètres N et k N . En d'autres termes :
Pour tout entier n non nul et tout entier k de {0,,N} tel que p( Xn =k)0, et pour tout i de {0,,N},

p( Xn+1 =i/ Xn =k)= Cn i ( k N )i (1- k N )N-i (avec la convention habituelle 0 0 =1 )

On a de plus l'hypothèse (H): pour tout entier n non nul, pour tout n-uplet ( k1 ,, kn ) de {0,,N}n tel que p( Xn = kn ,, X1 = k1 )0, pour tout entier i de {0,,N},
p( Xn+1 =i/ Xn = kn ,, X1 = k1 )=p( Xn+1 =i/ Xn = kn )
Cette hypothèse n'est utile qu'à la question 8. de la partie 2.
On définit la suite de variable aléatoires ( Fn )n0 par Fn = Xn N
L'énnoncé ci-dessous propose une étude des cas N=2 et N=3. les propriétés mises en évidence pâr cette étude peuvent se généraliser à une valeur quelcconque de N.
Préléminaire
Dans l'exemple ci-dessus, en appelant N la taille de l'échantillon, k0 le nombre de consommateurs interrogés la première fois et favorables à l'achat d'une marque étrangère, n le rang du sondage, donner une interprétation de la variable Xn et justifier par des arguments tirés du cours, l'utilisation de la loi binômiale. Comment interprèter l'hypothèse (H)?
Partie 1
Dans cette partie, N=2.
    1. On suppose que k0 =0. Déterminer la loi de X1 .
      Que peut-on dire de la suite ( Xn )n0 ?
    2. De même si k0 =2, que peut-on dire de la suite ( Xn )n0 ?
    On suppose désormais, dans la suite de cette partie, que k0 =1
    1. Montrer que, pour tout entier n, p( Xn =1)= 1 2n
      En déduire que pour tout entier n, p( Xn =0)=p( Xn =2)= 1 2 - 1 2n+1
    2. Montrer que la suite ( Fn )n0 converge en loi. Quelle est la loi limite ?
    3. Calculer E( Xn )
  1. On définit la variable aléatoire T par :
    1. Montrer que, pour tout entier n non nul, p(T=n)=p( Xn-1 =1)-p( Xn =1). Que vaut p(T=0)?
    2. Reconnaitre la loi de T et déterminer E(T)
Partie 2
Dans cette partie , N=3.
  1. Que dire de la suite ( Xn )n0 si k0 =0 ? Si k0 =3 ?
    On suppose désormais, dans la suite de cette partie que k0 =1.
  2. Etant donné unentier n, déterminer p( Xn+1 =0) en fonction des valeurs de p( Xn =k), k{0,1,2,3}
    Déterminer de même p( Xn+1 =1),   p( Xn+1 =1) et p( Xn+1 =3)
    Pour tout entier n, on pose Un =( p( Xn =0) p( Xn =1) p( Xn =2) p( Xn =3) ). Vérifier que Un+1 = AUn A=( 1 8 27 1 27 0 0 4 9 2 9 0 0 2 9 4 9 0 0 1 27 8 27 1 )
    1. Soit le vecteur ligne V=(0,1,2,3). Calculer VA.
    2. Montrer que E( Xn )= VUn pour tout entier n. En déduire la valeur de E( Xn )
    1. Soit le vecteur ligne W=(0,2,2,0). Calculer WA
    2. Soit n un entier naturel. Montrer que E( Xn (3- Xn ))= WUn . en déduire que E( Xn (3- Xn ))=2 ( 2 3 )n
    3. En déduire que pour tout entier n, p( Xn =1)+p( Xn =2)= ( 2 3 )n .
    4. A l'aide de 3. et de 4.c, déterminer limn+ p( Xn =i) pour tout entier i de {0,1,2,3}.
    5. Montrer que la suite ( Fn )n0 converge en loi . Quelle est la limite ?
    6. Déterminer le premier entier n tel que p( Fn =0 ou Fn =1)>0,95.
    1. On pose Y2 =( 1 -3 3 -1 ) et Y3 =( 1 -1 -1 1 )
      Monter que Y2 et Y3 sont colonnes propres de A. Quelles sont les valeurs propres associées ?
    2. Déterminer une base de \Bbb R4 , formée de vecteurs propres de A. Quelles sont les valeurs propres associées ?
      En déduire qu'il existe une matrice P inversible telle que P-1 AP soit diagonale.
    3. Calculer An pour tout entier n.
    1. Monter que la loi de Xn est donéne par :
      p( Xn =0)= 2 3 - 1 2 ( 2 3 )n - 1 6 ( 2 9 )n       p( Xn =1)= 1 2 ( ( 2 3 )n + ( 2 9 )n )       p( Xn =2)= 1 2 ( ( 2 3 )n - ( 2 9 )n )p( Xn =3)= 1 3 - 1 2 ( 2 3 )n + 1 6 ( 2 9 )n       
    2. Retrouver le résultat du 4.e)
  3. On définir la variable aléatoire T par :
    On pose pour tout entier n, vn =p( Xn =1)+p( Xn =2)
    1. Montrer que pour tout entier n non nul, p(T=n)= vn-1 - vn . Que vaut p(T=0) ?
    2. Reconnaitre la loi de T et donner E(T)
  4. Pour tout entier n non nul, on définit l'événement Bn = k=1 n( Xk 1)
    On pose x1 =p( X1 =0), pour tout entier k supérieur ou égal à 2, xk =p( X1 =1,, Xk-1 =1, Xk =0), et pour tout entier k non nul, yk =p( X1 =1,, Xk-1 =1, Xk =1)
    1. Exprimer pour tout entier k non nul, xk+1 et yk+1 en fonction de yk . En déduire les valeurs de xn et yn pour tout entier n non ul.
    2. Montrer que p( Bn )= k=1 n xk + yn . En déduire p( Bn ) et la limite de la suite (p( Bn ))n1
    3. En déduire la probabilté qu'il existe un entier n vérifiant Fn 0,5
(CCIP 1997 Maths II option Economique)



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On 11 Oct 2005, 22:24.