EDHEC 1996

1  Partie I

On considère les matrices I=( 100 010 001 ) et J=( 111 111 111 ).
Soit de plus la matrice





M=(
\dfrac23\dfrac16\dfrac16
\dfrac16
\dfrac23\dfrac16
\dfrac16
\dfrac16\dfrac23
).
  1. Exprimer J2 , puis pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, Jn en fonction de J.
  2. En déduire que, pour tout entier naturel n: Mn =\dfrac1 2n I+\dfrac13(1-\dfrac1 2n )J.

Partie II

Un mobile se déplace aléatoirement dans l'ensemble des sommets d'un triangle ABC de la façon suivante : si, à l'instant n, il est sur l'un quelconque des trois sommets, alors à l'instant (n+1), soit il y reste, avec une probabilité de \dfrac23, soit il se place sur l'un des deux autres sommets, et ceci avec la même probabilité.
On note An l'événement :  le mobile se trouve en A à l'instant n .
Bn l'événement :  le mobile se trouve en B à l'instant n .
Cn l'événement :  le mobile se trouve en C à l'instant n .
On pose an =P( An ), bn =P( Bn ) et cn =P( Cn ).
  1. Pour tout n entier naturel, déterminer an + bn + cn .
    1. Exprimer, pour tout entier naturel n, an+1 , bn+1 et cn+1 en fonction de an , bn et cn .
    2. Déduire de la question précédente que :
      n\mathbbN,    an+1 - bn+1 =\dfrac12( an - bn )    et     an+1 - cn+1 =\dfrac12( an - cn ).

  2. On suppose, dans cette question seulement, que le mobile se trouve en A à l'instant 0.
    1. Calculer an , bn et cn en fonction de n.
    2. Vérifier que ( an bn cn ) est la première colonne de Mn .
    3. Démontrer ce résultat.
  3. Expliquer comment retrouver, grâce à une méthode analogue à celle employée dans la troisième question, les deux autres colonnes de Mn (aucun calcul n'est demandé).
(EDHEC 1996)



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On 11 Oct 2005, 22:23.