Corrigé EDHEC 2003 par Pierre Veuillez

Pour tout entier naturel n non nul, on note A n l'événement : le joueur gagne la n ième partie.

De plus, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose : E n = A n 1 A n    F n = A n 1 A n    G n = A n 1 A n    H n = A n 1 A n

  1. On admet que ( E n , F n , G n , H n ) est un système complet d'événements.

    1. Avec le SCE précédent, on a :

      P ( E n + 1 ) = P E n ( E n + 1 ) P ( E n ) + P F n ( E n + 1 ) P ( F n ) + P G n ( E n + 1 ) P ( G n ) + P H n ( E n + 1 ) P ( H n )

      Hors, quand G n est réalisé, on a A n , donc E n + 1 = A n 1 A n n epeut pas être réalisé, et P G n ( E n + 1 ) = 0

      De même P H n ( E n + 1 ) = 0

      Si E n est réalisé, il a gagné en n 1 et n donc il gagnera la suivante avec une probabiltié de 2 3 . Comme E n + 1 = A n A n + 1 alors P E n ( E n + 1 ) = 2 3

      Si F n est réalisé, il a perdu en n 1 et gagné n donc il gagnera la suivante avec une probabiltié de 1 2 alors P F n ( E n + 1 ) = 1 2

      Finalment, P ( E n + 1 ) = 2 3 P ( E n ) + 1 2 P ( F n ) pour n 2

    2. De la même façon (N.B. ol'énnoncé donne le résultat juste en dessous ! il suffit de le recopier puisque ''aucune explication n'est exigée''

      • P ( F n + 1 ) = P ( A n A n + 1 ) = 1 2 P ( G n ) + 1 3 P ( H n )

      • P ( G n + 1 ) = P ( A n A n + 1 ) = 1 3 P ( E n ) + 1 2 P ( F n )

      • P ( F n + 1 ) = P ( A n A n + 1 ) = 1 2 P ( G n ) + 2 3 P ( H n )

    3. On a U n + 1 = ( P ( E n + 1 ) P ( F n + 1 ) P ( G n + 1 ) P ( H n + 1 ) ) = ( 2 3 P ( E n ) + 1 2 P ( F n ) 1 2 P ( G n ) + 1 3 P ( H n ) 1 3 P ( E n ) + 1 2 P ( F n ) 1 2 P ( G n ) + 2 3 P ( H n ) ) = ( 2 / 3 1 / 2 0 0 0 0 1 / 2 1 / 3 1 / 3 1 / 2 0 0 0 0 1 / 2 2 / 3 ) ( P ( E n ) P ( F n ) P ( G n ) P ( H n ) )

      Donc U n + 1 = M U n

    1. On a P Q = ( 1 1 3 3 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 3 3 ) ( 1 3 3 1 2 3 3 2 2 1 1 2 1 1 1 1 ) = ( 10 0 0 0 0 10 0 0 0 0 10 0 0 0 0 10 ) = 10 I

      Donc P 1 10 Q = I et P inversibled'inverse P 1 = 1 10 Q

    2. M C 1 = ( 2 / 3 1 / 2 0 0 0 0 1 / 2 1 / 3 1 / 3 1 / 2 0 0 0 0 1 / 2 2 / 3 ) ( 1 2 2 1 ) = ( 1 3 2 3 2 3 1 3 ) = 1 3 C 1

      M C 2 = ( 2 / 3 1 / 2 0 0 0 0 1 / 2 1 / 3 1 / 3 1 / 2 0 0 0 0 1 / 2 2 / 3 ) ( 1 1 1 1 ) = ( 1 6 1 6 1 6 1 6 ) = 1 6 C 2

      M C 3 = ( 2 / 3 1 / 2 0 0 0 0 1 / 2 1 / 3 1 / 3 1 / 2 0 0 0 0 1 / 2 2 / 3 ) ( 3 1 1 3 ) = ( 3 2 1 2 1 2 3 2 ) = 1 2 C 3

      M C 4 = ( 2 / 3 1 / 2 0 0 0 0 1 / 2 1 / 3 1 / 3 1 / 2 0 0 0 0 1 / 2 2 / 3 ) ( 3 2 2 3 ) = ( 3 2 2 3 ) = C 4

      Donc 1 3 , 1 6 , 1 2 et 1 sont 4 valeurs propres de M distinctes. Comme elle ne peut pas en avoir plus, ce sont les seules.

    3. Et M étant de taille 4, elle est alors diagonailisable avec la matrice P obtenue en concaténant les quatre colonnes propres :

      avec D = ( 1 3 0 0 0 0 1 6 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 ) on a M = P D P 1

    Dans toute la suite, on suppose que le joueur a gagné les deux premières parties.

    1. Pour n = 0 , on a M 0 = I = P I P 1 = P D 0 P 1

      Soit n tel que M n = P D n P 1 alors
      M n + 1 = M n M = P D n P 1 P D P 1 = P D n D P 1 = P D n + 1 P 1

      Donc n , M n = P D n P 1 .

    2. Pour n = 2 , on a M 2 2 U 2 = I U 2 = U 2

      Soit n 2 tel que rence, que U n = M n 2 U 2 alors U n + 1 = M U n = M M n 2 U 2 = M n 1 U 2

      Donc n 2 , U n = M n 2 U 2 .

    3. N.B. il est inutile de calculer le produit M n = P D n P 1 entier. Il suffit d'en calculer la première colonne. Et pour celà de faire le produit par la première colonne de gauche à droite. M n a pour première colonnne

      ( 1 1 3 3 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 3 3 ) ( ( 1 3 ) n 0 0 0 0 ( 1 6 ) n 0 0 0 0 ( 1 2 ) n 0 0 0 0 1 ) 1 10 ( 1 2 2 1 ) = 1 10 ( 1 1 3 3 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 3 3 ) ( ( 1 3 ) n 2 ( 1 6 ) n 2 ( 1 2 ) n 1 ) = 1 10 ( ( 1 3 ) n + 2 ( 1 6 ) n + 6 ( 1 2 ) n + 3 2 ( 1 3 ) n 2 ( 1 6 ) n 2 ( 1 2 ) n + 2 2 ( 1 3 ) n 2 ( 1 6 ) n + 2 ( 1 2 ) n + 2 ( 1 3 ) n + 2 ( 1 6 ) n 6 ( 1 2 ) n + 3 )

      et commme U n = M n 2 U 2 et que U 2 = ( 1 0 0 0 ) puique'il a gagné les deux premières parties, U n est alors la première colonne de M n 2 d'où

      • P ( E n ) = 1 10 ( ( 1 3 ) n 2 + 2 ( 1 6 ) n 2 + 6 ( 1 2 ) n 2 + 3 ) ,

      • P ( F n ) = , 1 10 ( 2 ( 1 3 ) n 2 2 ( 1 6 ) n 2 2 ( 1 2 ) n 2 + 2 )

      • P ( G n ) = 1 10 ( 2 ( 1 3 ) n 2 2 ( 1 6 ) n 2 + 2 ( 1 2 ) n 2 + 2 ) et

      • P ( H n ) = 1 10 ( ( 1 3 ) n 2 + 2 ( 1 6 ) n 2 6 ( 1 2 ) n 2 + 3 )

    4. Et quand n + , comme 1 3 , 1 6 et 1 2 ont des valeurs absolues strictment inférieures à 1 alors ( 1 3 ) n 2 , ( 1 6 ) n 2 et ( 1 2 ) n 2 tendent vers 0 quand n + . Et donc

  2. Pour tout entier naturel k non nul, on note X k la variable aléatoire qui vaut 1 si le joueur gagne la k ième partie et qui vaut 0 sinon ( X 1 et X 2 sont donc deux variables certaines).

    1. Pour gagner la k i e ` m e partie, le joueur peut avoir gagné ou perdu la k 1 e ` m e donc A k = E k F k

    2. Comme les deux sont incompatibles, P ( X k = 1 ) = P ( A k ) = P ( E k ) + P ( F k ) = 1 10 ( ( 1 3 ) k 2 + 4 ( 1 2 ) k 2 + 5 ) ,

      et donc X k suit une loi de Bernouilli de paramètre 1 10 ( ( 1 3 ) k 2 + 4 ( 1 2 ) k 2 + 5 )

  3. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 , on note S n la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur lors des n premières parties.

    1. N.B. Ici, les parties ne sont pas indépendantes, donc S n ne suit pas une loi géométrique !

      Comme le joueur a gagné ses deux premières parties

      Pour n = 2 , on a S n = 2 qui est l'événement certain donc P ( S 2 = 2 ) = 1

      Pour n = 3 , comme le joueur a gagné les deux premières parties, ( S 3 = 2 ) = A 3 et P ( S 3 = 2 ) = 1 1 10 ( ( 1 3 ) + 4 ( 1 2 ) + 5 ) = 1 1 10 ( 2 + 12 + 30 6 ) = 1 40 10 6 = 1 3 et pour n 4 , ( S n = 2 ) signifie qu'il n'a pas gangé d'autre partie que les deux première donc ( S n = 2 ) = k = 3 n A k donc (les parties ne sont pas indépendantes)

      P ( S n = 2 ) = P ( A 3 ) P A 3 ( A 4 ) P A 3 A 4 ( A 5 ) \dots P A 2 \dots A n 1 ( A n ) = 1 3 1 2 2 3 \dots 2 3

      car quand on perd les deux précédentes, la probabiltié de perdre la suivante est de 2 3

      La probabilité est de 2 / 3 de la 5 ième à la n ième partie donc k 5 + 1 = n 4 fois. Et

      Conclusion :

      P ( S n = 2 ) = 1 6 ( 2 3 ) n 4 pour n 4

    2. ( S n = n ) signifie que le joueur a gagné toutes ses parties donc ( S n = n ) = k = 3 n A k et P ( S n = n ) = P ( A 3 ) P A 3 ( A 4 ) P A 3 A 4 ( A 5 ) \dots P A 2 \dots A n 1 ( A n ) = 2 3 2 3 2 3 \dots 2 3 car le conditionnement précise qu'il a gagné à chaque fois les deux parties précédentes.

      Conclusion :

      P ( S n = n ) = ( 2 3 ) n 2
      .

    3. X k compte le nomber de victoire pour la k ième  partie, donc le nombre total de victoires est S n = k = 1 n X k et E ( S n ) = k = 1 n E ( X k ) = E ( X 1 ) + E ( X 2 ) + k = 3 n E ( X k ) = 1 + 1 + k = 3 n 1 10 ( ( 1 3 ) k 2 + 4 ( 1 2 ) k 2 + 5 ) = 2 + 1 10 k = 1 n 2 ( 1 3 ) k + 2 5 k = 1 n 2 ( 1 2 ) k + n 2 2 = n 2 + 1 + 1 10 ( 1 3 ) ( 1 3 ) n 2 1 1 3 1 + 2 5 1 2 ( 1 2 ) n 2 1 1 2 1 = n 2 + 1 + 1 40 ( 9 ( 1 3 ) n 1 ) 2 5 ( 4 ( 1 2 ) n 1 ) = n 2 + 11 8 + 9 40 ( 1 3 ) n 8 5 ( 1 2 ) n