EDHEC 2003

Un joueur participe à un jeu se jouant en plusieurs parties. Ses observations lui permettent d'affirmer que :

Pour tout entier naturel n non nul, on note A n l'événement : le joueur gagne la n ième partie.

De plus, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose : E n = A n 1 A n    F n = A n 1 A n    G n = A n 1 A n    H n = A n 1 A n

  1. On admet que ( E n , F n , G n , H n ) est un système complet d'événements.

    1. Utiliser la formule des probabilités totales pour montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 , on a : P ( E n + 1 ) = 2 3 P ( E n ) + 1 2 P ( F n ) .

    2. Exprimer de la même façon (aucune explication n'est exigée) les probabilités P ( F n + 1 ) , P ( G n + 1 ) et P ( H n + 1 ) en fonction de P ( E n ) , P ( F n ) , P ( G n ) et P ( H n ) .

    3. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 , on pose : U n = ( P ( E n ) P ( F n ) P ( G n ) P ( H n ) ) .

      Vérifier que U n + 1 = M U n , où M = ( 2 / 3 1 / 2 0 0 0 0 1 / 2 1 / 3 1 / 3 1 / 2 0 0 0 0 1 / 2 2 / 3 ) .

    1. Soient P = ( 1 1 3 3 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 3 3 ) et Q = ( 1 3 3 1 2 3 3 2 2 1 1 2 1 1 1 1 ) .

      Calculer P Q . En déduire que P est inversible et donner son inverse.

    2. On note C 1 , C 2 , C 3 et C 4 les colonnes de P . Calculer M C 1 , M C 2 , M C 3 et M C 4 , puis en déduire que 1 3 , 1 6 , 1 2 et 1 sont les valeurs propres de M .

    3. Justifier que M = P D P 1 , où D est une matrice diagonale que l'on déterminera.

    Dans toute la suite, on suppose que le joueur a gagné les deux premières parties.

    1. Montrer par récurrence que : n , M n = P D n P 1 .

    2. Montrer, également par récurrence, que : n 2 , U n = M n 2 U 2 .

    3. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, donner la première colonne de M n , puis en déduire P ( E n ) , P ( F n ) , P ( G n ) et P ( H n ) .

    4. Montrer que l'on a :

  2. Pour tout entier naturel k non nul, on note X k la variable aléatoire qui vaut 1 si le joueur gagne la k ième partie et qui vaut 0 sinon ( X 1 et X 2 sont donc deux variables certaines).

    1. Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2 , exprimer A k en fonction de E k et F k .

    2. En déduire, pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2 , la loi de X k .

  3. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 , on note S n la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur lors des n premières parties.

    1. Calculer P ( S n = 2 ) en distinguant les cas n = 2 , n = 3 et n 4 .

    2. Déterminer P ( S n = n ) .

    3. Pour tout entier n supérieur ou égal à 3, écrire S n en fonction des variables X k , puis déterminer E ( S n ) en fonction de n .

(EDHEC 2003)