Corrigé ESCO 1992 par Pierre Veuillez

Deux pièces (une chambre et la salle) A et B sont reliées entre elles de la façon suivante: A ouvre sur B et B ouvre sur l'extérieur. Une guêpe initiallement (à l'instant 0) dans la pièce A voudrait sortir à l'air libre. A chaque instant n son trajet obéit aux règles suivantes:

Pour tout entier n , on notera A n l'événement "la guêpe est dans la pièce A à l'instant n " et de même B n .

D n pour "être dehors à l'instant n " et S n l'événement "la guêpe sort à l'instant n ".

On notera a n , b n , d n et s n leurs probabilités respectives.

  1. Résultats élémentaires.

    1. A l'instant 0 elle se trouve en A donc a 0 = 1 : b 0 = 0 et s 0 = 0

      A l'instant 1 elle peut être restée en A ou être passé en B avec a 1 = 1 3 : b 1 = 2 3 et s 1 = 0

      Enfin, pour être sortie à l'instant 2 , elle doit passer en B à l'instant 1

      S 2 = B 1 S 2 et s 2 = P ( S 2 ) = P ( B 1 ) P B 1 ( S 2 ) = 2 3 1 4 = 1 6

      Conclusion :

      a 0 = 1 : b 0 = 0 : s 0 = 0 : a 1 = 1 3 : b 1 = 2 3 : s 1 = 0 : s 2 = 1 6

    2. Sachant qu'à l'instant 2 elle est en A , on calcule la probabilité conditionnée par le futur en utilisant la formule de Bayes : P A 2 ( B 1 ) = P ( B 1 A 2 ) P ( A 2 ) = P ( B 1 ) P B 1 ( A 2 ) P ( A 2 )

      avec P ( A 2 ) donné par la formule des probabilités totales avec le système complet d'événements ( A 1 , B 1 , D 1 )

      P ( A 2 ) = P A 1 ( A 2 ) P ( A 1 ) + P B 1 ( A 2 ) P ( B 1 ) + P D 1 ( A 2 ) P ( D 1 ) = 1 3 1 3 + 1 4 2 3 + 0 = 5 18 et donc P A 2 ( B 1 ) = 2 3 1 4 5 18 = 3 5

  2. Calcul de a n et b n

    1. A l'instant n , la guêpe peut être en A , en B ou dehors donc ( A n , B n , D n ) est un système complet d'événements et

      P ( A n + 1 ) = P A n ( A n + 1 ) P ( A n ) + P B n ( A n + 1 ) P ( B n ) + P D n ( A n + 1 ) P ( D n ) = 1 3 P ( A n ) + 1 4 P ( B n ) + 0 car, quand la guêpe est dehors elle ne rentre plus. P ( B n + 1 ) = P A n ( B n + 1 ) P ( A n ) + P B n ( B n + 1 ) P ( B n ) + P D n ( B n + 1 ) P ( D n ) = 2 3 P ( A n ) + 1 2 P ( B n ) + 0

      Conclusion :

      a n + 1 = 1 3 a n + 1 4 b n et b n + 1 = 2 3 a n + 1 2 b n

    2. On a, pour tout n 0 : b n + 1 = 2 3 a n + 1 2 b n = 2 a n

      Donc (en substituant n 1 0 à n , donc pour n 1 )

      Conclusion :

      pour tout entier n * , b n = 2 a n .

    3. On a donc pour tout n 1 (pour pouvoir substituer 2 a n à b n ) : a n + 1 = 1 3 a n + 1 4 2 a n = 5 6 a n

      Donc la sujet ( a n ) n 1 est géométrique de raison 5 6 et pour tout entier n 1 on a : a n = ( 5 6 ) n 1 a 1 = 1 3 ( 5 6 ) n 1 et comme b n = 2 a n

      Conclusion :

      n 1 : a n = 1 3 ( 5 6 ) n 1 et b n = 2 3 ( 5 6 ) n 1

      N.B. Cette formule n'est pas valable pour n = 0

    4. Quand n + on a ( 5 6 ) n 0 car | 5 6 | < 1 donc a n 0 et b n 0

      Conclusion :

      la guêpe finira presque sûrement par sortir.

  3. Dehors.

    1. A partir de l'instant 2 la guêpe peux sortir.

      Pour sortir à l'instant n , la guêpe doit être en B à l'instant n 1

      Donc S n = B n 1 S n et P ( S n ) = P ( B n 1 ) P B n 1 ( S n ) donc

      Donc pour tout entier n 2 , s n = 1 4 b n 1 = 1 4 2 3 ( 5 6 ) n 2

      Conclusion :

      pour tout n 2 : s n = 1 5 ( 5 6 ) n 1

    2. Pour être dehors à l'instant n , il faut qu'elle soit sortie entre l'instant 2 et l'instant n .

      Donc D n = i = 2 n S i et comme ils sont incompatibles (elle ne sort qu'une fois)

      P ( D n ) = i = 2 n P ( S i ) = i = 2 n 1 5 ( 5 6 ) i 1 = i = 1 n 1 1 5 ( 5 6 ) j = 1 5 5 6 1 ( 5 6 ) n 1 1 5 6 = 1 ( 5 6 ) n 1

      Conclusion :

      pour tout n 2 : P ( D n ) = 1 ( 5 6 ) n 1

  4. Première sortie et premier retour :

    On note X l'instant où la guêpe entre pour la première fois de la pièce B et Y la variable aléatoire

    1. X est sans mémoire car la probabilité de passer en B ne change pas ( 2 3 ) tant que la guêpe n'y est pas entré.

      Conclusion :

      Donc X suit une loi 𝒢 ( 2 3 ) et on a E ( X ) = 3 2 et V ( X ) = 1 / 3 ( 2 / 3 ) 2 = 3 4

    2. pour 1 i < j l'événement ( X = i Y = j ) signifie qu'elle est sortie de A la première fois en i (donc qu'elle y est resté jusque là) puis qu'elle est retournée en A à l'instant i (et restée en b de i à j 1 ) donc ( X = i Y = j ) = k = 1 i 1 A k k = i j 1 B k A j  donc  P ( X = i Y = j ) = P ( A 1 ) \dots P A 1 \dots A i 2 ( A i 1 ) × P A 1 \dots A i 1 ( B i ) \dots P A 1 \dots B i 2 ( B j 1 ) × P A 1 \dots B i 1 ( A j ) = ( 1 3 ) i 1 2 3 ( 1 2 ) j i 1 1 4 = ( 1 3 ) i ( 1 2 ) j i Conclusion :

      Pour 1 i < j : P ( X = i Y = j ) = ( 2 3 ) i ( 1 2 ) j

    3. On a alors la loi de Y comme loi marginale du couple : Si i j 2 alors ( X = i Y = j ) est impossible et P ( X = i Y = j ) = 0 donc pour tout j 2 : P ( Y = j ) = i = 1 + P ( X = i Y = j ) = i = 1 j 1 ( 2 3 ) i ( 1 2 ) j + i = j + 0 = ( 1 2 ) j i = 1 j 1 ( 2 3 ) i = ( 1 2 ) j 2 3 1 ( 2 / 3 ) j 1 1 2 3 = ( 1 2 ) j 1 ( 1 ( 2 3 ) j 1 ) = ( 1 2 ) j 1 ( 1 3 ) j 1

      Conclusion :

      pour j 2 on a P ( Y = j ) = ( 1 2 ) j 1 ( 1 3 ) j 1

    4. les valeurs possibles de Y sont 0 et les entiers supérieurs ou égaux à 2. Donc : P ( Y = 0 ) = 1 j = 2 + [ ( 1 2 ) j 1 ( 1 3 ) j 1 ]  réindexé : = 1 j = 1 + [ ( 1 2 ) j ( 1 3 ) j ]  complété = 1 j = 0 + ( 1 2 ) j + j = 0 + ( 1 3 ) j + 0  car les deux convergent = 1 1 1 1 2 + 1 1 1 3 = 1 2 Conclusion :

      P ( Y = 0 ) = 1 2

      La guêpe a donc une chance sur deux de ne jamais revenir dans la pièce A

      Ce qui s'explique : une fois qu'elle est en B , elle a les mêmes chances ( 1 4 ) de revenir en A et de sortir définitivement.

(ESCO 92)