ESCO 1992

Deux pièces (une chambre et la salle) A et B sont reliées entre elles de la façon suivante: A ouvre sur B et B ouvre sur l'extérieur.

Une guêpe initiallement (à l'instant 0) dans la pièce A voudrait sortir à l'air libre.

A chaque instant n son trajet obéit aux règles suivantes:

Pour tout entier n , on notera A n l'événement "la guêpe est dans la pièce A à l'instant n " et de même B n , D n pour "être dehors à l'instant n " et S n l'événement "la guêpe sort à l'instant n ".

On notera a n , b n , d n et s n leurs probabilités respectives.

  1. Résultats élémentaires.

    1. Déterminer les probabilités a 0 , b 0 , s 0 , a 1 , b 1 , s 1 et s 2 .

    2. Sachant qu'à l'instant 2 elle est en A , quelle est la probabilité qu'elle ait été en B à l'instant 1 ?

  2. Calcul de a n et b n

    1. Justifier que pour tout entier n :

      a n + 1 = 1 3 a n + 1 4 b n et b n + 1 = 2 3 a n + 1 2 b n

    2. Montrer que pour tout entier n * , b n = 2 a n .

    3. En déduire pour n 1 , l'expression de a n et de b n en fonction de n .

    4. Calculer les limites de a n et de b n quand n tend vers + et interpréter ce résultat.

  3. Dehors.

    1. Justifier que pour tout entier n 2 , s n = 1 4 b n 1 et en déduire s n en fonction de n .

    2. Déduisez en la probabilité d n que la guêpe soit dehors à l'instant n .

  4. Première sortie et premier retour :

    On note X l'instant où la guêpe entre pour la première fois dans la pièce B

    et Y la variable aléatoire qui vaut

    Ainsi,

    1. Reconnaître la loi de X et donner son espérance et sa variance.

    2. Montrer que pour 1 i < j la probabilité P ( X = i Y = j ) = ( 2 3 ) i ( 1 2 ) j

    3. En déduire pour tout j 2 : P ( Y = j ) .

    4. Déterminer enfin P ( Y = 0 )

(ESCO 92)