ECRICOME 2006

E désigne l'espace des fonctions polynômes à coefficients réels, dont le degré est inférieur ou égal à l'entier naturel 2.

Étude d'un endomorphisme de E .

On considère l'application f qui, à tout élément P de E , associe la fonction polynôme Q telle que : pour tout  x  réel :   Q ( x ) = ( x 1 ) P ( x ) + P ( x ) et = ( P 0 , P 1 , P 2 ) la base canonique de E définie par : pour tout réel  x :    P 0 ( x ) = 1 , P 1 ( x ) = x  et  P 2 ( x ) = x 2

  1. Montrer que f est un endomorphisme de E .

  2. Vérifier que la matrice A de f dans , s'écrit sous la forme : A = ( 1 1 0 0 2 2 0 0 3 )

  3. Quelles sont les valeurs propres de f ? f est-il diagonalisable ? f est-il un automorphisme de E ?

  4. Déterminer l'image par f des fonctions polynômes R 0 , R 1 , R 2 définies par : pour tout réel  x :    R 0 ( x ) = 1 , R 1 ( x ) = x 1  et  R 2 ( x ) = ( x 1 ) 2

  5. Montrer que = ( R 0 , R 1 , R 2 ) est une base de vecteurs propres de f . Écrire la matrice de passage P de la base à la base ainsi que la matrice D de f dans la base .

  6. Vérifier que pour tout réel x : { R 2 x + 2 R 1 ( x ) + R 0 ( x ) = P 2 ( x ) R 1 ( x ) + R 0 ( x ) = P 1 ( x )

    En déduire la matrice de passage de la base à la base

  7. Écrire A 1 en fonction de D 1 . Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : [ A 1 ] n = P [ D 1 ] n P 1 et expliciter la troisième colonne de la matrice [ A 1 ] n

Suite d'épreuves aléatoires.

On dispose d'une urne qui contient trois boules numérotées de 0 à 2.

On s'intéresse à une suite d'épreuves définies de la manière suivante :

On considère alors la variable aléatoire réelle X k égale au numéro de la boule obtenue à la k e ` m e épreuve ( k 0 )

On note alors U k la matrice unicolonne définie par : U k = ( P [ X k = 0 ] P [ X k = 1 ] P [ X k = 2 ] ) P [ X k = j ] est la probabilité de tirer la boule numéro j à la k e ` m e épreuve.

On convient de définir la matrice U 0 par : U 0 = ( 0 0 1 )

  1. Déterminer la loi de X 2 (On pourra s'aider d'un arbre). Calculer l'espérance et la variance de X 2

  2. Par utilisation de la formule des probabilités totales, prouver que pour tout entier naturel k :

    U k + 1 = A 1 U k

  3. Écrire U k en fonction de A 1 et U 0

  4. Pour tout k de , donner la loi de X k et vérifier que l'on a : lim k + P [ X k = 0 ] = 1 , lim k + P [ X k = 1 ] = 0 , lim k + P [ X k = 2 ] = 0