corrig\e par Pierre Veuillez

Le but de l'exercice est de déterminer une valeur approchée à 10 3 près de la solution positive de l'équation: 2 e x e 2 x = x

Soit f la fonction définie sur + par f ( x ) = 2 e x e 2 x .

On donne f ( 1 / 2 ) # 0 , 84 et f ( 1 ) # 0 , 60

  1. f est dérivable sur + et f ( x ) = 2 e x + 2 e 2 x = 2 e 2 x ( 1 e x ) et comme exp est strictement croissante 1 e x < 0 si x > 0. Donc f est strictement décroisante sur + . en + , f tend vers 0 donc on a une asymptote horizontale. En 0 la pente de la tangente est f ( 0 ) = 0 donc horizontale.

    1. g ( x ) = f ( x ) 1 < 0. En + g ( x ) et en 0 , g ( 0 ) = 1

    2. g est strictement décroissante et continue donc bijective de [ 1 / 2 , 1 ] dans [ g ( 1 / 2 ) , g ( 0 ) ] qui contient 0. (Il faut calculer les valeurs approchées) Donc l'équation g ( x ) = 0 y a une unique solution. Et comme g est strictement décroissante, ell n'a pas d'auter solutin sur + . Et comme g ( x ) = 0 f ( x ) = x , il en va de même pour f ( x ) = x qui a donc une unique solution positive notée α et que 1 / 2 α 1 .

  2. On étudie les variations : h ( x ) = x x 2 ; h est dérivable sur [ 0 , 1 ] et h ( x ) ) = 1 2 x est affine donc h est croissante sur [ 0 , 1 / 2 ] et décroisante sur [ 1 / 2 , 1 ] . Comme h ( 0 ) = 0 , h ( 1 / 2 ) = 1 / 4 et h ( 1 ) = 0 alors si 0 x 1 , on a 0 x x 2 1 / 4 .

    Donc avec X = e x on a f ( x ) = 2 ( X X 2 ) et pour x [ 1 / 2 , 1 ] on a 0 < e x < e 1 / 2 < 1 donc | f ( x ) | = 2 ( X X 2 ) 2 / 4 = 1 / 2

    Finalement pour tout x de [ 1 / 2 , 1 ] , on a | f ( x ) | 1 / 2

  3. Soit u la suite définie par: u 0 = 1 / 2 et pour tout n , u n + 1 = f ( u n ) .

    1. Pour appliquer l'inégalité des acroissement finis, on démontre d'abord par récurrence que pour tout entier n , u n [ 1 / 2 , 1 ] :

      C'est vrai pour u 0

      Soit n tel que u n [ 1 / 2 , 1 ] alors 1 / 2 u n 1 . f est strictement décroissante sur cet intervalle donc 1 f ( 1 / 2 ) f ( u n ) f ( 1 ) 1 / 2

      En 1 on a besoibn de la valeur numérique. En 1 / 2 , on sait que f 1 sur +

      Donc u n + 1 [ 1 / 2 , 1 ] et pour tout entier n \dots

      Comme | f | 1 / 2 sur [ 1 / 2 , 1 ] et que u n et α en sont éléments alors | u n + 1 α | = | f ( u n ) f ( α ) | 1 2 | u n α | .

    2. On monter alors par récurrence : | u n α | 1 2 n + 1

      Pour n = 0 on a u 0 = 1 / 2 α 1 donc | u 0 α | = α u 0 1 / 2

      Soit n tel que | u n α | 1 2 n + 1 alors | u n + 1 α | 1 2 | u n α | 1 2 n + 2

      C.Q.F.D

    3. Comme 2 n + (car 2 > 1 ) alors 1 / 2 n + 1 0 et par encadrement u n α 0 et u n α

  4. Comme l'écart entre u n et α est inférieur à 1 / 2 n + 1 il suffit de calculer u n jusqu'à ce que 1 / 2 n + 1 10 3

    program va;

    var u:real;p:integer;

    begin

    u:=1/2;p:=1/2;

    repeat u:=f(u);p:=p/2 until p<=1E-3;

    writeln(u);

    End.