Le but de l'exercice est de déterminer une valeur approchée à 10 3 près de la solution positive de l'équation: 2 e x e 2 x = x

Soit f la fonction définie sur + par f ( x ) = 2 e x e 2 x .

On donne f ( 1 / 2 ) # 0 , 84 et f ( 1 ) # 0 , 60

  1. Etudier les variations de f aisni que sa limite en + .

    Construire la courbe représentative de f (sur + ).

    1. Etudier les variations de que la fonction g définie par g ( x ) = f ( x ) x sur + .

    2. En déduire que l'équation f ( x ) = x a une unique solution positive notée α et que 1 / 2 α 1 .

  2. Montrer que si 0 x 1 , alors 0 x x 2 1 / 4 .

    En déduire que, pour tout x de [ 1 / 2 , 1 ] , on a | f ( x ) | 1 / 2

  3. Soit u la suite définie par: u 0 = 1 / 2 et pour tout n , u n + 1 = f ( u n ) .

    1. Montrer que pour tout n entier, | u n + 1 α | 1 2 | u n α | .

    2. En déduire que pour tout n entier, | u n α | 1 2 n + 1

    3. Montrer enfin que la suite u est convergente et préciser sa limite.

  4. Ecrire un programme en PASCAL qui calcule une valeur de u n qui soit une valeur approchée de α à 10 3 près.

    On stockera pour celà les valeurs successives de u n dans une variable U et celles de 1 / 2 n + 1 dans p .