ESCP 1996


On considère la fonction f définie sur ] 0 , + [ par:

f ( 1 ) = 1  et  f ( x ) = x + 1 x 1 ln ( x ) 2  si  x 1.

  1. Montrer que f est une fonction continue sur ] 0 , + [ .

  2. Calculer la dérivée f de f sur les intervalles ] 0 , 1 [ et ] 1 , + [ . Etudier son signe et en déduire que f est monotonne sur chacun de ces deux intervalles.

  3. Montrer que pour tout x strictement positif et différent de 1, la dérivée f de f vérifie: f ( x ) = ( x 1 ) ln ( x ) ( x 1 ) 2 1 2 x

    On admet que ln ( 1 + x ) = x x 2 / 2 + x 2 ϵ ( x ) avec ϵ ( x ) x 0 0 . En déduire que f est dérivable au point 1 et déterminer f ( 1 ) . Montrer que f est continue sur l'intervalle ] 0 , + [ .

  4. Montrer que pour tout x>1, on a: ln ( x ) < ( x 1 ) . En déduire que, pour tout x > 1 on a: f ( x ) < x .

  5. Donner le représentation graphique de la fonction f .

  6. Soit a un réel supérieur à 1.

    1. Montrer qu'il existe une suite ( x n ) n 0 de réels vérifiants x 0 = a et pour tout entier n 0 , x n + 1 = f ( x n ) .

    2. Montrer que cette suite est décroissante et qu'elle admet une limite l que l'on précisera.

  7. On se propose d'étudier la vitesse avec laquelle la suite ( x n ) n 0 tend vers l .

    1. Montrer qu'il existe un entier n 0 tel que | f ( x n ) l | 1 3 | x n l | pour tout n n 0 .

    2. En déduire que la suite ( x n l ) n 0 est négligeable devant la suite ( 1 / 2 n ) n 0 .

(ESCP 1996)