(EML 2001) corrigé par Pierre Veuillez
    1. f est continue en x tel que ex -10.
      ex -1=0 ex =1x=0 car exp est strictment croissante sur et que x et 0 en sont éléments. Donc f est continue sur ]0,+[ .
      En 0 : x ex -1 \undersetx00=f(0) car ex -1\thicksimx donc f est continue en 0.
      Donc   f est continue sur [0;+[.
    2. f est de classe C1 en tout x tel que ex -10 donc sur ]0;+[. (quotient de fonctions C1 )
      et pour tout x]0,+[,
      f' (x)= ex -1- xex ( ex -1)2 = (1-x) ex -1 ( ex -1)2 .

    3. On a donc
      f' (x) = (1-x) ex -1 ( ex -1)2 = (1-x)(1+x+ x2 2 + x2 ϵ(x))-1 (x+ x2 2 + x2 ϵ(x))2 = 1-x+x- x2 + x2 /2+ x2 ϵ2 (x)-1 x2 (1+ ϵ3 (x)) = - x2 /2+ x2 ϵ2 (x) x2 (1+ ϵ3 (x))2 = -1/2+ ϵ2 (x) (1+ ϵ3 (x))2 \undersetx0- 1 2

    4. Comme f(x)\undersetx0f(0)  et que f' (x)\undersetx0-1/2 alors le taux déaccroissement a la même limite. Donc f est dérivable en 0 et f' (0)=-1/2
      De plus f' (x)\undersetx0 f' (0) donc f' est continue en 0. Finalement que f est C1 sur [0;+[.
    1.   f est de classe C2 sur ]0;+[ comme quotient de fonctions de classe C2 et x]0;+[ 
             f'' (x) = (1-x-1) ex ( ex -1)2 -2[(1-x) ex -1]( ex -1) ex ( ex -1)4 = ( ex -1)[- xex ( ex -1)-2[(1-x) ex -1] ex ] ( ex -1)4 = - xe2x + xex -2[ e2x - xe2x - ex ] ( ex -1)3 = ex ( ex -1)3 ( xex -2 ex +x+2)

    2. g est dérivable sur et g' (x)= xex + ex -2 ex +1=(x-1) ex +1 
      g' est dérivable sur et g"(x)= ex +(x-1) ex = xex d'où les variations et les signes :
      x 0 + +
      g" (x) 0 +
      g' (x) 0 +
      g(x) 0 +
      et pour f:
      x 0 + +
      g(x) 0 +
      ex -1 0 +
      f"(x) 0 +
      f' (x) -1/2 - 0
      f(x) 1 0
      en +
      f' (x)= (1-x) ex -1 ( ex -1)2 = xex [(-1+ 1 x )- 1 xex ] e2x (1-1/ ex )2 = x[(-1+ 1 x )- 1 xex ] ex (1-1/ ex )2 0    car    x << ex

      D'où     x]0;+[,    f'' (x)>0. (la courbe est convexe)
    3. Comme f' est croissante et tend vers 0 en +,\ elle est strictement négative et f est strictement décroissabnte sur +
      En +
      f(x)= x ex -1 = x ex (1-1/ ex ) 0    car    x << ex

    4. D'où la courbe représentative : on place la tangente en 0, l'asymptote à l'infini et la concavité.
  1.   On considère la suite ( un )n0 définie par u0 =0 et : n,    un+1 =f( un ).
    1. D'après les variations f on a x[0;+[,   0f(x)1
      D'après les variations de f' , on a pour tout x[0;+[,    - 1 2 f' (x)<0 et comme | f' (x)|= -1 2 f' (x) 
      x[0;+[,   | f' (x)| 1 2     et    0f(x)1

    2. On procède par équivalence pour résoudre l'équation : 0 n'est pas solution et pour x0
      f(x)=x x ex -1 =x 1= ex -1     car x0 et ex -10 2= ex x=ln(2) car exp est strictement croissante sur

      donc ln(2) est l'unique solution de cette équation.
    3. On applique alors l'inégalité des accroissments finis :
      On montre tout d'abord que pour tout entier n, un [0+[
      Pour n=0,    u0 =0[0+[
      Soit n0 tel que un [0+[ alors, comme f0 sur [0+[,    f( un )0 et un+1 [0+[.
      Donc pour tout entier n, un [0+[
      De plus ln(2)[0+[
      Et | f' | 1 2 sur [0+[ donc  
      n   | un+1 -ln2|=|f( un )-f(ln2)| 1 2 | un -ln2|

    4. On a alors par récurrence, pour tout entier n,0| un -ln(2)|1/ 2n
      Et par encadrement un -ln(2)0 et un ln(2)
(EML 2001)



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On 18 May 2004, 00:02.