(EML 2001)



On considère l'application f : [ 0 ; + [ , définie, pour tout x de [ 0 ; + [ , par : f ( x ) = { x e x 1 si  x > 0 1  si  x = 0

    1. Montrer que f est continue sur [ 0 ; + [ .

    2. Montrer que f est de classe C 1 sur ] 0 ; + [ . Pour tout x ] 0 , + [ , calculer f ( x ) .

    3. Montrer que f ( x ) tend vers 1 2 lorsque x tend vers 0 . (On admettra que e x = 1 + x + x 2 2 + x 2 ϵ ( x ) avec ϵ ( x ) x 0 0 )

    4. En déduire que f est C 1 sur [ 0 ; + [ .

    1. Montrer que f est de classe C 2 sur ] 0 ; + [ et que: x ] 0 ; + [    f ( x ) = e x ( e x 1 ) 3 ( x e x 2 e x + x + 2 )

    2. Etudier les variations de la fonction g : [ 0 ; + [ , définie, pour tout x de [ 0 ; + [ , par: g ( x ) = x e x 2 e x + x + 2 En déduire : x ] 0 ; + [ , f ( x ) > 0 .

    3. En déduire le sens de variation de f . On précisera la limite de f en + . Dresser le tableau de variation de f .

    4. Tracer l'allure de la courbe représentative de f .

  1. On considère la suite ( u n ) n 0 définie par u 0 = 0 et : n , u n + 1 = f ( u n ) .

    1. Montrer : x [ 0 ; + [ , | f ( x ) | 1 2 et 0 f ( x ) 1

    2. Résoudre l'équation f ( x ) = x , d'inconnue x ] 0 ; + [ .

    3. Montrer : n | u n + 1 ln 2 | 1 2 | u n ln 2 |

    4. Etablir que la suite ( u n ) n 0 converge et déterminer sa limite.

(EML 2001)