Corrigé par Pierre Veuillez
( D'après ESSEC 2002 )
Résolution numérique de l'équation
L'équation
Elle a pour discriminant
La première est strictement négative. Montrons que la seconde se
trouve dans
Comme
Donc l'équation a bien une unique racine sur cet intervalle et
Or pour
Donc l'équation
Donc
On peut procèder ici en ''bricolant'' (puisqu'on ne nous demande la
dérivée qu'à la questionsuivante) : si
Donc
Si
Donc
On considère la suite défnie par
On montre par réurrence que pour tout entier
Soit
Donc pour toute entier
On a alors d'après l'inégalité des accroissement finis comme
et
alors
Et on prouve la suite par récurrence :
Pour
Soit
Donc pour tout entier
Comme
Résolution numérique de l'équation
Soit
Comme
Comme on va avoir besoin pour l'inégalité des accroissements finis
de
Donc comme
On remarque comme précédement que
L'équation
Donc
Donc pour tout
Donc
Donc si
Donc
On a alors par récurrence : pour tout entier
Et comme
Et donc par récurernce pour tout entier
Et comme
Donc par encadrement
L'écart entre
Donc pour avoir une valeur approchée de
On affecte pour celà
Program suite;
var U,P:real;
begin U:=1;P:=2/3; { pour
}
repeat
P:=P*27/169; U:=1/(U*U+U+1); until P < 1E-8;
Writeln('une
valeur approchée est :',U);
End.