1. Résolution numérique de l'équation x 2 + x 1 = 0 ( 0 < x < 1 )

    On considère dans cette question la fonction f définie pour x 0 par : f ( x ) = 1 x + 1

    1. Montrer que l'équation x 2 + x 1 = 0 a une seule racine réelle appartenant à ] 0 , 1 [ , et préciser la valeur de cette racine r 2 .

      En déduire que r 2 est l'unique solution de l'équation f ( x ) = x sur ] 0 , 1 [

    2. Montrer, si x désigne un nombre réel appartenant à [ 1 / 2 , 1 ] , que f ( x ) appartient à [ 1 / 2 , 1 ]

    3. Calculer la dérivée f de f et prouver l'inégalité suivante pour 1 / 2 x 1 : | f ( x ) | 4 9

    4. On considère la suite défnie par u 0 = 1 et u n + 1 = f ( u n )

      Montrer que pour tout entier n , u n [ 1 / 2 , 1 ]

      Prouver l'inégalité suivante et la convergence de la suite ( u n ) vers r 2 : n , | u n r 2 | ( 4 9 ) n

  2. Résolution numérique de l'équation x 3 + x 2 + x 1 = 0 ( 0 < x < 1 )

    On considère dans cette question la fonction f définie pour x 0 par : f ( x ) = 1 x 2 + x + 1

    1. Montrer que l'équation x 3 + x 2 + x 1 = 0 a une seule racine réelle r 3 appartenant à ] 0 , 1 [ .

    2. Montrer, si x désigne un nombre réel appartenant à [ 1 / 3 , 1 ] , que f ( x ) appartient à [ 1 / 3 , 1 ]

    3. Calculer les dérivées f et f " de f et en déduire le maximum de la valeur absolue de f ( x ) pour x appartenant à [ 1 / 3 , 1 ]

    4. On considère la suite défnie par u 0 = 1 et u n + 1 = f ( u n )

      Majorer | u n r 3 | en fonction de n et prouver la convergence de la suite ( u n ) vers r 3

    5. Ecrire un programme en PASCAL qui donne une valeur approchée de r 3 à 10 8 près.

( D'après ESSEC 2002 )