Corrigé EML 1996 par Pierre Veuillez
Soit
la fonction définie sur
par
On a pour tout réel
si
et
Donc
est paire
est dérivable sur
et m
0
0
0
Pour la limite en
(pas de forme indéterminée) et en
on a
épar symétrie
On étudie les variations de la différence :
est dérivable sur
et
on ne sait pas factoriser simplement...
Mais sur
on a
donc
et
n'y a pas de solution.
Sur
donc
On a donc
qui est continue et strictement décroissante sur
donc bijective de
dans
Comme
alors l'équation
aune unique solution
sur
De plus
donc
et comme
est strictement décroissante sur
et qu'ils en sont
éléments,
Donc l'équation
a une unique solution
et
Pour
on a
et
Pour
on a
et
Et comme
est maximale en
on a bien pour tout réle
:
On définit la suite
par:
Par récurrence :
pour
on a
Soit
tel que
alors
donc
donc
Donc pour tout entier
D'après l'inégalité des accroissements finis, comme
et
et que
sur
alors
On a alors par récurrence :
puis
Soit
tel que
alors
Donc pour tout entier
Alors comme
on a
et par encadrement (
)
et donc la
suite
converge vers
.
donnera une valeur approvchée de
à 10
près si
ce qui sera ralisé
si
program suite;var u,p:real;begin u:=0;p:=1/2; repeat u:=exp(u)/(1+exp(2*u)); p:=p/2; until p<=1E-3writeln(u);end.
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