Corrigé EML 1996 par Pierre Veuillez
Soit f la fonction définie sur \mathbb par f(x)=\dfrac ex e2x +1
    1. On a pour tout réel x:si x Df ,  -x Df et
      f(-x)= e-x e-2x +1 = 1 ex 1 e2x +1 = ex 1+ e2x =f(x)

      Donc f est paire
      f est dérivable sur et m
      f' (x) = ex ( e2x +1)- ex e2x 2 ( e2x +1)2 = ex - e3x ( e2x +1)2 = ex ( e2x +1) (1- e2x )

      x - 0 +
      1- e2x + 0 -
      f' (x) + 0 -
      f(x) 0 1 2 0
      Pour la limite en -:f(x)=\dfrac ex e2x +10 (pas de forme indéterminée) et en + on a épar symétrie f(x)0
    2. On étudie les variations de la différence : g(x)=f(x)-x. g est dérivable sur et
      g' (x)= ex - e3x ( e2x +1)2 -1

      on ne sait pas factoriser simplement...
      Mais sur - , on a f(x)>0 donc f(x)>x et f(x)=x n'y a pas de solution.
      Sur + : f' (x)0 donc g' (x)<0
      On a donc g qui est continue et strictement décroissante sur + donc bijective de + dans ] lim+ g,g(0)]=]-,1/2]
      Comme 0]-,1/2] alors l'équation g(x)=0 aune unique solution sur +
      De plus g(1/2)=f(1/2)-1/2<0 donc g(0)=1/2g()g(1/2) et comme g est strictement décroissante sur + et qu'ils en sont éléments, 0\dfrac12.
      Donc l'équation f()= a une unique solution et 0\dfrac12
    3. Pour x0 on a | f' (x)|= f' (x) et
      | f' (x)|-f(x)= ex - e3x ( e2x +1)2 - ex 1+ e2x = ex - e3x - ex ( e2x +1) ( e2x +1)2 = -2 e3x ( e2x +1)2 0

      Pour x0 on a | f' (x)|=- f' (x) et
      | f' (x)|-f(x)=- ex - e3x ( e2x +1)2 - ex 1+ e2x = - ex + e3x - ex ( e2x +1) ( e2x +1)2 = -2 ex ( e2x +1)2 0

      Et comme f est maximale en 0, on a bien pour tout réle x : | f' (x)|f(x)f(0)=\dfrac12
  1. On définit la suite ( un )n\mathbb par:
    u0 =0             et n\mathbb       un+1 =f( un )

    1. Par récurrence :
      • pour n=0 on a u0 =0[0, 1 2 ]
      • Soit n tel que un [0, 1 2 ] alors 0u1/2 donc f(0)f( un )f(1/2)0 donc un+1 [0, 1 2 ]
      • Donc pour tout entier n: un [0,\dfrac12]
    2. D'après l'inégalité des accroissements finis, comme un et [0, 1 2 ] et que | f' | 1 2 sur [0, 1 2 ] alors
      |f( un )-f()|=| un+1 -|\dfrac12| un -|

      On a alors par récurrence :
      • puis    | u0 -|= 1 2 =\dfrac1 20+1
      • Soit n tel que | un -|\dfrac1 2n+1 alors | un+1 -|\dfrac12| un -|\dfrac12\dfrac1 2n+1
      • Donc pour tout entier n:      | un -|\dfrac1 2n+1
    3. Alors comme | 1 2 |<1 on a ( 1 2 )n 0 et par encadrement ( 0| un -|\dfrac1 2n+1 ) | un -|0 et donc la suite ( un ) converge vers .
    4. un donnera une valeur approvchée de à 10 -3 près si | un -| 10-3 ce qui sera ralisé si \dfrac1 2n+1 10-3
      program suite;
      var u,p:real;
      begin
             u:=0;p:=1/2;
             repeat
                    u:=exp(u)/(1+exp(2*u));
                    p:=p/2;
             until p<=1E-3
      writeln(u);
      end.



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On 18 May 2004, 00:02.