EML 1996

Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = e x e 2 x + 1

    1. Montrer que f est paire.
      Etudier les variations de f et tracer sa courbe dans repère orthogonal ( O ; i , j ) .
      (unités: 2 cm sur l'axe des abscisses et 10 cm sur l'axe des ordonnées).

    2. Montrer qu'il existe un unique réel tel que f ( ) = . Justifier : 0 1 2 (on donne f ( 1 / 2 ) < 1 / 2 )

    3. Montrer que pour tout réel x : | f ( x ) | f ( x ) 1 2

  1. On définit la suite ( u n ) n par: u 0 = 0      et  n    u n + 1 = f ( u n )

    1. Montrer que, pour tout n    u n [ 0 , 1 2 ]

    2. Montrer que, pour tout n : | u n + 1 | 1 2 | u n |    puis    | u n | 1 2 n + 1

    3. En déduire que la suite ( u n ) converge vers .

    4. Ecrire un programme PASCAL permettant d'obtenir une valeur approchée de à 10 3 près.