Corrigé ESSEC II 1998 par Pierre Veuillez
Partie I
On considère un nombre réel strictement positif
et la fonction
définie pour tout nombre réel
par:
On définit alors une suite
par son premier terme
et
la relation :
Convergence de la suite
La fonction
est croisante sur
(composée de
fonctions strictements croissantes car
)
Pour
on a
donc comme
et
comme
est strictement croissante sur
on a
d'où
Soit
tel que
alors
comme
est croissante sur
(et que les temres sont réels ...
)
or
et
donc
et pour tout entier
La suite
est donc croissante et majorée par
donc elle est
convergente. On note
sa limite que l'on ne connait
pas !
Limite de la suite
lorsque
Pour appliquer l'IAF, on majore la dérivée de
là
où se trouvent les termes de la suite i.e. sur
est dérivable sur
et
et pourtout
tel que
on a
donc
(car
) et
et
enfin
Donc
sur
et comme
et
appartiennet à cet intervalle
et comme
pour tout entier
on a bien
finalment
On a alors par récurrence :
Soit
tel que
alors
et donc pour tout etnier
Donc comme
on a
et par
encadrement
Conclusion :
pour
Limite de la suite
lorsque
On étudie ici les racines de l'équation
lorsque
- On etudie les variations de
h est dérivable sur
et
est donc du signe de
0
en
donc
et donc
pour tout
on a
- Comme
on
a :
car
est strictement croissante sur
et que
les termes en font partie. Donc l'unique solution de l'équation est
- Soit
est dérivable sur
et
pour
qui
s'annule pour
et comme
est strictement croissante,
et
(donc
) a pour unique
solution
pour
s'annule en
car
et d'après les variations de
1
0
Comme
on a donc
Comme
on applique le théorème de
bijection :
est continue et strictement décroissante sur
donc bijective de cet intervalle dans
et comme
en est
élément et l'équation
a une unique
solution
sur cet intervalle.
Donc
Et d'après les variatinos de
il n'y a
pas d'autres solutions.
l'éqution
a donc ici 2 solutions:
et
On a donc bien
pour
, et que
On étudie ici la plus petite racine
de l'équation
lorsque
- Soit
est dérivable sur
et
0
0
affine
0
en
on a
car
Pour comparer les images, on peut comparer les termes :
Comme on a pour tout
:
et que
on a donc
il fautdrait savoir que
pour pouvoir en déduire l'ordre des images. Fausse piste
On sait que
donc
et
enfin on multiplie par
et
Finalement
et
ont mêmes images par
.
Donc pour
comme
ils ne peuvent pas être
tous deux sur l'intervalle
où
est
strictement décroissante et on a donc
- Comme
est continue et strictementcroisante sur
, elle est bijective de
dans
et sa
réciproque est continue et strictement croissante. On a le tableau de
variations de
par symétrie :
0
- Prouver que
Comme on n'a pas d'expression de la réciproque, on utilise le lien entre
fonction et réciproque :
D'après les variations de
on a pour tout
donc
On a donc
qui est bien défini et
car
Or cette relation est vraie car
Conclusion :
Quand
tend vers
on a
donc
(il n'y a pas de forme indéterminée ici)
Conclusion :
quand
On étudie maintenant la limite de la suite
lorsque
.
- Par récurrence :
pour
on a
car
Soit
tel que
alors comme
est
strictement croissante sur
on a
donc
car
est solution de
Conclusion :
pour tout nombre
entier naturel
- On sait déjà que
tend vers
Et par passage à la limte dan sl'inégalité prépcedente on a :
(des inégalités strictes se
seraient élargies à la limite)
Comme
est continue sur
elle est continue en
donc
est solution de l'équation
Les solutions sont
et
Pour
on a
donc
et pour
on a
donc
et
Conclusion :
La limite de la suite
pour
est donc
- On a tout d'abord,
Et pour
pour avoir une valeur approchée
on
pourrait utiliser
si on en avait l'expression
On utilise donc la méthode usuelle : on calcule donc
jusqu'à
ce que
Et pour savoir que
on compare les
images par
de
et de
est décroissante sur
donc
si
alors
si
alors
D'où le programme :
program valeur_apporchee;var u,a,borne:real;function g(x:real):real;begin g:=exp(a*(x-1))-x end;function f(x:real):real;begin f:=exp(a*(x-1)) end;beginwriteln('a?');readln(a);borne:=1-ln(a)/au:=0;repeat u:=f(u);until (1E-2+u > borne) or (g(u+1E-2)<=0)writlen('valeur approchée de L(a) :',u);end.
Courbe représentative de la fonction
pour
On a pour
et pour
en
vu précédemment
le sens de variations de
découlera de
est dérivable sur
et car
sur
et pour
on a
donc
est dérivbale en
et
et
car
pour
Pour la tangente en
on a
car
et comme
alors
et
d'où une forme
indéterminée...
Ici on dépasse largement le stade de la "déduction" et on aura
plus que l"'allure" de la courbe représentative :
Ce qui suit n'était donc pas demandé dans cette question.
Pour accèder à la tangente, on peut pâsser par un équivalent
de
d'où on déduira un équivalent de
On a le développement limité en 1:
On pose
et
Donc quand
Soit
et
on a alors quand
et
et en prenant la racine (
donc
)
D'où le taux d'accroissement de la composée quand
en faisant apparaîter les quotients précédents :
et
(théorème de dérivablité d'une fonction prolongée
et
en
)
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