ESSEC 1998 Maths II

La pr\esentation, la lisibilit\e, l'orthographe, la qualit\e de la r\edaction, la clart\e et la pr\ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appr\eciation des copies. Les candidats sont invit\es \a encadrer dans la mesure du possible les r\esultats de leurs calculs. ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout mat\eriel \electronique est interdite. Seule l'utilisation d'une r\egle gradu\ee est autoris\ee.

On consid\ere dans ce probl\eme un guichet auquel se pr\esentent al\eatoirement des clients. L'objectif est d'\etudier la file d'attente se formant \a ce guichet au cours du temps, ce qui est trait\e dans la partie II. Dans la partie I, on \etudie une suite r\ecurrente utilis\ee ult\erieurement.

Partie I

On consid\ere un nombre r\eel strictement positif a et la fonction f d\efinie pour tout nombre r\eel x par: f ( x ) = e x p [ a ( x 1 ) ] . On d\efinit alors une suite ( u k ) par son premier terme u 0 = 0 et la relation : u k + 1 = f ( u k ) .

  1. Convergence de la suite ( u k ) .

    1. Établir par récurrence pour tout nombre entier naturel k les inégalités: 0 u k 1        et        u k u k + 1 .

    2. En déduire la convergence de la suite ( u k ) , dont on notera L ( a ) la limite.

  2. Limite de la suite ( u k ) lorsque a < 1.

    1. À l'aide de l'inégalité des accroissements finis, établir que: 0 1 u k + 1 a ( 1 u k ) .

    2. En déduire l'inégalité 0 1 u k a k pour tout nombre entier naturel k , puis la limite L ( a ) de la suite ( u k ) pour 0 < a < 1.

  3. Limite de la suite ( u k ) lorsque a 1.

    1. On étudie ici les racines de l'équation f ( x ) = x lorsque a 1.

      • Prouver que 0 1 l n ( a ) / a 1 pour a 1.

      • Exprimer l'unique racine de l'équation f ( x ) = 1 en fonction de a .

      • En déduire la variation de la fonction x f ( x ) x pour a = 1 , puis pour a > 1.

        Préciser dans ces deux cas le nombre des racines de l'équation f ( x ) = x .

      On convient désormais de noter r ( a ) la plus petite racine de l'équation f ( x ) = x .
      On vérifiera en particulier que 0 < r ( a ) < 1 pour a > 1 , et que r ( 1 ) = 1.

    2. On étudie ici la plus petite racine r ( a ) de l'équation f ( x ) = x lorsque a 1.

      • Étudier et représenter graphiquement sur [ 0 , + [ la fonction x x e x .

        Comparer les images des nombres a et a r ( a ) par cette fonction.

      • En déduire que la fonction ϕ , définie pour 0 x 1 par ϕ ( x ) = x e x , réalise une bijection de [ 0 , 1 ] sur [ 0 , 1 / e ] et montrer que la fonction ϕ 1 est continue et strictement croissante sur [ 0 , 1 / e ] (on citera le théorème utilisé).

        Dresser le tableau de variation de ϕ 1 .

      • Prouver que r ( a ) = 1 a ϕ 1 ( a e a ) , puis déterminer la limite de r ( a ) en + .

    3. On étudie maintenant la limite de la suite ( u k ) lorsque a 1 .

      • Établir l'inégalité 0 u k r ( a ) pour tout nombre entier naturel k .

      • En déduire la limite L ( a ) de la suite ( u k ) pour a 1.

      • Écrire (en PASCAL) un algorithme permettant de déterminer une valeur approchée de L ( a ) à 10 2 près. On obtient ainsi L ( 2 ) = 0 , 20 , L ( 4 ) = 0 , 02 , etc.

  4. Courbe représentative de la fonction a L ( a ) pour a > 0.

    Déduire de ces résultats l'allure de la courbe représentative de la fonction a L ( a ) pour a > 0.