ESSEC 1998 Maths II
La pr\esentation, la lisibilit\e, l'orthographe, la qualit\e de la r\edaction, la clart\e et la pr\ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appr\eciation des copies. Les candidats sont invit\es \a encadrer dans la mesure du possible les r\esultats de leurs calculs. ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout mat\eriel \electronique est interdite. Seule l'utilisation d'une r\egle gradu\ee est autoris\ee.
On consid\ere dans ce probl\eme un guichet auquel se pr\esentent al\eatoirement des clients. L'objectif est d'\etudier la file d'attente se formant \a ce guichet au cours du temps, ce qui est trait\e dans la partie II. Dans la partie I, on \etudie une suite r\ecurrente utilis\ee ult\erieurement.
Partie I
On consid\ere un nombre r\eel strictement positif
Convergence de la suite
Établir par récurrence pour tout nombre entier naturel
En déduire la convergence de la suite
Limite de la suite
À l'aide de l'inégalité des accroissements finis, établir
que:
En déduire l'inégalité
Limite de la suite
On étudie ici les racines de l'équation
Prouver que
Exprimer l'unique racine de l'équation
En déduire la variation de la fonction
Préciser dans ces deux cas le nombre des racines de l'équation
On convient désormais de noter
On
vérifiera en particulier que
On étudie ici la plus petite racine
Étudier et représenter graphiquement sur
Comparer les images des nombres
En déduire que la fonction
Dresser le tableau de variation de
Prouver que
On étudie maintenant la limite de la suite
Établir l'inégalité
En déduire la limite
Écrire (en PASCAL) un algorithme permettant de déterminer une valeur
approchée de
Courbe représentative de la fonction
Déduire de ces résultats l'allure de la courbe représentative
de la fonction