Corrigé ECRICOME 2003 par Pierre Veuillez
1. Etude des fonctions ch, sh, et f.
  1. ch et sh sont défines sur donc pour tout x, on a -x et :

    ch(-x) = e-x + ex 2 =ch(x) sh(-x) = e-x - ex 2 =-sh(x)

    Donc ch est parie et sh est impaire.
  2. sh est dérivable sur et sh' (x)= ex + e-x 2 >0 ( =ch(x) ) donc sh est strictement croisante sur
    En +:  sh(x)= ex - e-x 2 + et comme sh est impaire en -:sh(x)-
    x - 0 +
    sh(x) - - 0 + +
    et on a donc sh>0 sur + * et sh<0 sur - * et nulle en 0.
  3. On a en factorisant :
      sh(x) = ex - e-x 2 = ex 2 (1- e-2x ) \undersetx+\thicksim ex 2

    car 1- e-2x 1
    On a donc une branche parabolique verticale en +
  4. la fonction sh est continue et strictement croissante sur donc bijective de dans ] lim- sh, lim+ sh[=
  5. ch est dérivable sur et ch' (x)=sh(x).
    En +:ch(x)= ex + e-x 2 + d'où les variations de ch:
    x - 0 +
    ch' (x) - 0 +
    sh(x) + 1 +
  6. Pour montrer que ch(x)>sh(x), on calcule la différence :
    ch(x)-sh(x) = ex + e-x 2 - ex - e-x 2 = 2 e-x 2 >0

    donc pour tout réel x:ch(x)>sh(x)
  7. Il convient de respecter les symétries, les positions relatives, de donner la tangente en 0 (seule point particulier) et bien former des branches paraboliques.
    sh' (0)=ch(0)=1
  8. f est définie sur et pour tout réel x0:
    f(-x)= -x sh(-x) = -x -sh(x) =f(x)

    et f(-0)=1=f(0) donc f est paire.
  9. On a ex =1+x+ x2 /2+ x3 /6+ x3 ϵ(x) avec ϵ(x)\undersetx00 donc
    sh(x)= 1 2 [1+x+ x2 2 + x3 6 + x3 ϵ(x)-(1-x+ x2 2 - x3 6 - x3 ϵ(-x))] = 1 2 [2x+ x3 3 + x3 ϵ1 (x)] =x+ x3 6 + x3 ϵ2 (x)

    qui est le développement limité de sh à l'ordre 3 en 0.
  10. On a alors quand x0,  x0:

    f(x)= x sh(x) = x x+ x3 6 + x3 ϵ2 (x) = 1 1+ x2 6 + x2 ϵ2 (x) 1=f(0)

    donc f est continue en 0.
    Pour la dérivabilité on calcule le taux d'accroissement
    f(x)-f(0) x-0 = x sh(x) -1 x = x-sh(x) xsh(x) = x-x+ x3 6 + x3 ϵ2 (x) x(x+ x3 6 + x3 ϵ2 (x)) = x3 6 + x3 ϵ2 (x) x2 (1+ x2 6 + x2 ϵ2 (x)) = x 6 +x ϵ2 (x) 1+ x2 6 + x2 ϵ2 (x) \undersetx00

    Donc f est dérivable en 0 et f' (0)=0
    Remarque : celài est rassurant pour une fonction paire.
  11. f est dérivable sur + * et sur - * comme quotient de fonction dérivable avec sh(x)0 et pour x0
    f' (x)= sh(x)-xch(x) sh (x)2 = h(x) sh (x)2

  12. h est dérivable sur et
    h' (x)=ch(x)-(ch(x)+xsh(x)) =-xsh(x)

    en +:
    h(x)= ex - e-x 2 -x ex + e-x 2 = xex 2 ( 1- e-2x x -1- e-2x )-

    et comme h est impaire, en -:h(x)+

    x + ,    h(x)=shx-xch(x)

    d'où le singe de h(x):
    x - - 0 + +
    sh(x) - 0 +
    -xsh(x) - 0 -
    h(x) + + 0 - -
  13. D'où finalement le sens de variations de f :
    x - - 0 + +
    h(x) + 0 -
    f' (x) + 0 -
    f(x) 0 1 0
    En + on a : f(x)= x sh(x) = 2x/ ex 0 2sh(x)/ ex 1 0 en utilisant sh(x)\thicksim ex /2
    On a donc une asymptote horizontale en + et par symétrie en -.
2. Etude de la suite ( un )n .
  1. Comme f est strictement décroissante sur + si 0.8x1 alors 1f(0.8)f(x)f(1)0.8 donc f([0.8,1])[0.8,1],
    On a alors par récurrence :
  2. l'équation f(x)=x n'est pas vérifiée pour x=0
    Pour x0 on a f(x)=x x sh(x) =xsh(x)=1
    Or sh est bijective de dans et comme 1 l'équation sh(x)=1 a une unique solution α
  3. De plus sh(0.8)<1=sh(α)<sh(1) d'après les valeurs approchées.
    et comme sh est strictement croissante sur , 0.8α1
    On a f' (x)= h(x) sh (x)2
    Si 0.8x1 on a alors 0h(0.8)h(x)h(1) car h est décroissante sur
    de plus sh(0.8)sh(x)sh(1) car la fonction sh est sctrictement croissante sur
    Donc sh2 (0.8) sh2 (x) sh2 (1) car la fonction carré est strictement croissante sur + et que tout ces termes sont positifs.
    D'où 1 sh2 (0.8) 1 sh2 (x) 1 sh2 (1) car la fonction inverse est stritement décroissante sur + * et que tous les termes sont strictement positifs.
    Pour faire le produit des inégalités , on a besoin de termes positifs : 0-h(0.8)-h(x)-h(1)

       -h(1) sh2 (0.8) -h(x) sh2 (x) -h(0.8) sh2 (1)

    donc
       h(1) sh2 (0.8) f' (x) h(0.8) sh2 (1) 0

  4. On utilise alors l'inégalité des acroissements finis :
    Sur [0.8,1] on a | f' (x)|=- f' (x) -h(1) sh2 (0.8) 0.5
    et pour tout entier n: un et α[0.8,1] donc |f( un )-f(α)|0.5| un -α| et | un+1 -α|0.5| un -α|
    d'où par récurrence :
  5. Comme |0.5|<1 on a 0. 5n 0 et par encadrement un -α0 et un ^ α
  6. Pour calculer u10 on affecte à une même variable u les valeurs successives de u0 à u10 .
    Il faut donc calculer les valeurs suivantes de u1 à u10 :
    on a f( un )= un sh( un ) = 2 un e un - e- un
    program suite;
    var u:real;n:integer;
    begin
           u:=1;
           for n:=1 to 10 do u:=2*u/(exp(u)-exp(-u));
           writeln(u)
    end.



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On 18 May 2004, 00:02.