ECRICOME 2003
On considère les fonctions ch et sh définies sur par :

ch(x)= ex + e-x 2       sh(x)= ex - e-x 2

ainsi que la fonction f définie sur par :
{ f(x)= x sh(x) si x0 f(0)=1

On s'intéresse dans cet exercice à la convergence de la suite ( un )n définie par la relation de récurrence :
{ u0 =1 n     un+1 =f( un )

1. Etude des fonctions ch, sh, et f.
  1. Etudier la parité des fonctions ch et sh.
  2. Dresser le tableau de variations de la fonction sh, puis en déduire le signe de sh(x) pour x appartenant à .
  3. Déterminer un équivalent en + de sh(x). En déduire l'allure de la courbe représentative de la fonction sh en +.
  4. Montrer que la fonction sh réalise une bijection de dans
  5. Etudier les variations de la fonction ch.
  6. Montrer que :
    x,    ch(x)>sh(x)

  7. Donner sur un méme graphique l'allure des courbes représentatives des fonctions ch et sh.
  8. Etudier la parité de la fonction f.
  9. Déterminer le développement limité d'ordre 3 en 0 de la fontion sh.
  10. En déduire que la fonction f est continue en 0, dérivable en 0 et déterminer f' (0).
  11. Justifier que f est dérivable sur + * et sur - * et calculer f' (x) pour x*
  12. On pose :
    x + ,    h(x)=shx-xch(x)

    Etudier les variations de h, puis en déduire le signe de h(x).
  13. Déterminer les variations de f sur + et donner l'allure de la courbe représentative de la fonction f. (On ne cherchera pas les points d'inflexion).
2. Etude de la suite ( un )n .
On donne :

f(0.8) 0.9,    f(1)0.85, sh(0.6) 0.64,    sh(0.8)0.89,    sh(1)1.18,    sh(1.2)1.51

  1. Justifier que f([0.8,1])[0.8,1], puis que :
    n,     un [0.8,1]

  2. Montrer que l'équation f(x)=x admet une unique solution α sur (on pourra utiliser la question 1.4, sans cherche à déterminer α).
  3. Donner um encadrement de α et justifier que :
    x[0.8,1],     h(1) sh2 (0.8) f' (x) h(0.8) sh2 (1)

  4. On donne :
    h(1) sh2 (0.8) -0.47  et   h(0.8) sh2 (1) -0.13

    Montrer que :
    n,\Bbb    | un+1 -α|0.5| un -α|

    Puis que :
    n,\Bbb    | un -α|0.2 (0.5)n

  5. En déduire la limite de la suite ( un ) quand n tend vers +.
  6. Ecrire un programme en Turbo-Pascal permettant de calculer et d'afficher u10



File translated from TEX by TTM, version 3.59.
On 18 May 2004, 00:02.