corrig\e par Pierre Veuillez

  1. u n + 1 est défini si u n est défini est si 3 2 u n 0 . Pour n = 0 , u 0 = 2 existe et u 0 < 0 .

    Soit n 0 tel que u n existe et soit u n < 0 . Est ce que u n + 1 existe et u n + 1 < 0 ?

    Alors, comme 3 2 u n > 0 , u n + 1 = u n 3 2 u n est bien défini et u n + 1 < 0 .

  2. Comme pour tout entier n , u n < 0 , alors u n 1 0 et v n est bien défini.

  3. v n + 1 = u n + 1 u n + 1 1 = u n 3 2 u n u n 3 2 u n 1 = u n u n ( 3 2 u n ) = u n 3 u n 3 = 1 3 v n . ( v est donc géométrique de raison 1 / 3 .)

  4. Pour n = 0 , est-ce que v 0 = 2 3 ( 1 3 ) 0 ? Or v 0 = u 0 u 0 1 = 2 2 1 = 2 3 = 2 3 ( 1 3 ) 0

    Soit n entier tel que v n = 2 3 ( 1 3 ) n . Est-ce que v n + 1 = 2 3 ( 1 3 ) n + 1 ?

    Or v n + 1 = 1 3 v n = 2 3 ( 1 3 ) n 1 3 = 2 3 ( 1 3 ) n + 1

    Donc pour tout n entier, v n = 2 3 ( 1 3 ) n

  5. Comme



    alors v n ( u n 1 ) = u n et u n ( v n 1 ) = v n . D'où, comme v n 1 : u n = v n v n 1 = 2 3 ( 1 3 ) n 2 3 ( 1 3 ) n 1 = 2 2 3 ( 3 ) n