-
u
n
+
1
est
défini si
u
n
est défini est si
3
−
2
⁢
u
n
≠
0
.
Pour
n
=
0
,
u
0
=
−
2
existe et
u
0
<
0
.
Soit
n
≥
0
tel que
u
n
existe et soit
u
n
<
0
.
Est ce que
u
n
+
1
existe et
u
n
+
1
<
0
?
Alors, comme
3
−
2
⁢
u
n
>
0
,
u
n
+
1
=
u
⁢
n
3
−
2
⁢
u
⁢
n
est bien défini et
u
n
+
1
<
0
.
-
Comme pour tout entier
n
,
u
n
<
0
,
alors
u
n
−
1
≠
0
et
v
n
est bien défini.
-
v
n
+
1
=
u
n
+
1
u
n
+
1
−
1
=
u
n
3
−
2
⁢
u
n
u
n
3
−
2
⁢
u
n
−
1
=
u
n
u
n
−
(
3
−
2
⁢
u
n
)
=
u
n
3
⁢
u
n
−
3
=
1
3
⁢
v
n
.
(
v
est donc géométrique de raison
1
/
3
.)
-
Pour
n
=
0
,
est-ce que
v
0
=
2
3
⁢
(
1
3
)
0
?
Or
v
0
=
u
0
u
0
−
1
=
−
2
−
2
−
1
=
2
3
=
2
3
⁢
(
1
3
)
0
Soit
n
entier tel que
v
n
=
2
3
⁢
(
1
3
)
n
.
Est-ce que
v
n
+
1
=
2
3
⁢
(
1
3
)
n
+
1
?
Or
v
n
+
1
=
1
3
⁢
v
n
=
2
3
⁢
(
1
3
)
n
⁢
1
3
=
2
3
⁢
(
1
3
)
n
+
1
Donc pour tout
n
entier,
v
n
=
2
3
⁢
(
1
3
)
n
-
Comme
alors
v
n
⁢
(
u
n
−
1
)
=
u
n
et
u
n
⁢
(
v
n
−
1
)
=
v
n
.
D'où, comme
v
n
≠
1
:
u
n
=
v
⁢
n
v
n
−
1
=
2
3
⁢
(
1
3
)
n
2
3
⁢
(
1
3
)
n
−
1
=
2
2
−
3
⁢
(
3
)
n