On pose u 0 = 2 et n , u n + 1 = u n 3 2 u n

  1. A quelles condition sur u n , u n + 1 est-il bien ainsi défini?

  2. Montrer par récurrence que, pour tout entier n , u n existe et u n < 0 .

    On pose pour tout

    n , v n = u n u n 1

  3. Montrer que pour tout n , v n est défini.

  4. Simplifier l'expression de v n + 1 en fonction de u n et montrer que pour tout entier n , v n + 1 = 1 3 v n (on dit que v est géométrique de raison 1 3 ).

  5. Montrer par récurrence que pour tout entier n , v n = 2 3 ( 1 3 ) n .

  6. Déterminer enfin u n en fonction de n .