corrig\e par Pierre Veuillez

  1. Soit u la suite définie par: u 1 = 2 et n * , u n + 1 = 2 ( n + 1 ) 2 n ( n + 2 ) u n

    1. v n = n + 1 n u n . Pour montrer que v est géométrique, on transforme l'écriture de v n + 1 en essayant de faire réapparaître v n : v n + 1 = n + 1 + 1 n + 1 u n + 1 = n + 2 n + 1 2 ( n + 1 ) 2 n ( n + 2 ) u n = 2 n + 1 n u n = 2 v n donc v est géométrique de raison 2 et de premier terme v 1 = 1 + 1 1 u 1 = 4.

      On a donc pour tout entier n 1 , v n = 4 2 n 1 = 2 n + 1

    2. Finalement, u n = n 2 ( n + 1 ) v n = n 2 ( n + 1 ) 2 n + 1 = n 2 n n + 1

  2. Soit u la suite définie par u 0 = 3 et pour tout entier n , u n + 1 = u n 1 + 1

    1. On démontre celà par récurrence. Pour pouvoir calculer u n + 1 il faudra que u n soit bien défini et que u n 1 soit positif ou nul. Ce qui viendra du fait que u n > 1.

      Pour n = 0. Est-ce que u 0 est défini et u 0 > 1 ?

      Or u 0 = 2 est bien défini et stritement plus grand que 1.

      Soit n , tel que u n est défini et u n > 1.

      Est-ce que u n + 1 est défini et u n + 1 > 1 ?

      Or comme u n est défini et que u n 1 > 0 , alors u n 1 + 1 = u n + 1 est bien défini.

      Comme u n 1 > 0 alors u n 1 > 0 et u n 1 + 1 > 1. CQFD.

      Donc pour tout n , u n est défini et u n > 1.

    2. Comme pour tout entier n , u n > 1 alors u n 1 > 0 donc ln ( u n 1 ) est bien défini.

      On transforme alors v n + 1 : v n + 1 = ln ( u n + 1 1 ) = ln ( u n 1 + 1 1 ) = ln ( u n 1 ) = 1 2 ln ( u n 1 ) = 1 2 v n Donc v ets bien géométrique de raison 1 / 2 et pour tout entier n , v n = ( 1 2 ) n v 0 = ( 1 2 ) n ln ( u 0 1 ) = ( 1 2 ) n ln ( 2 )

    3. Comme on a pour tout entier n , v n = ln ( u n 1 ) alors u n 1 = exp ( v n )  et  u n = exp ( v n ) + 1 = exp ( ( 1 2 ) n ln ( 2 ) ) + 1 = enfin u n = 2 1 / 2 n + 1